Презентация, доклад по дисциплине Элементы высшей математики на тему: Основные операции над матрицами - урок 2-ой. Рекомендовано для выпускников среднего профессионального образования.

Евгеньевна
Mila139139 @ yandex.ru

Тема 1.1.
Матрицы и определители.

Раздел 1. Элементы линейной алгебры.

Лекция № 2

УРОК ВТОРОЙ

и их соответствующие элементы равны

Эти матрицы равны, т.к. равны их размеры: и

:      

а также соответствующие элементы:

:      

все элементы матрицы А  , если известно, что она

равна матрице

Решение. Так как матрицы А и В   равны, то равны и их соответствующие элементы, т.е

Ответ:

этого каждый элемент матрицы следует умножить на это число.

Мы получим одинаковый результат, умножая число на матрицу, или матрицу на число, то есть

λ (μ А) - ассоциативный закон относительно числового множителя;

λ (А+В) = λ А+λ В – распределительный (дистрибутивный) закон относительно суммы матриц;

3. (λ +μ )А = λ А+μ А – дистрибутивный закон относительно суммы числовых множителей.

Решение.

Ответ:

В одного порядка.

а11 а12 а13 ........ а1m
a21 a22 а23 .......... а2m
...........................
an1 аn2 an3 …….. anm

b11 b12 b13 ........ b1m
b21 b22 b23 .......... b2m
...........................
bn1 bn2 bn3 …….. bnm

А =

В =

тогда С = А+В если
cij = aij + bij , где i =1,2,3,…,n; j = 1,2,3,…,m; т.е.

C =

(a11 + b11 ) (a12 + b12 ) ........ (a1n + b1m )
(a21 + b21 ) (a22 + b22 ) ..... (a2n + b2m )
....................................................
( an1 + bn2 ) (an2 + bn3 )…….. (anm + bnm )

всеми теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел

А + В = В + А, т.е. подчиняется переместительному (коммутативному) закону,

2. (А+В)+П = А+(В+П), т.е. подчиняется сочетательному (ассоциативному) закону.

3. А+Q = Q+A где Q - нулевая матрица соответствующего размера.

матриц и через умножение матрицы на число.

Вычитание матриц вводится следующим образом:

То есть к матрице А прибавляется матрица В,
умноженная на (-1).

Разностью матриц А и В одного и того же размера называется матрица С такого же размера, получаемая из исходных путем прибавления к матрице А матрицы В , умноженной на (-1).

А – 3В, если

Решение.

Ответ:

А можно умножить на матрицу В, если количество столбцов А равно количеству строк В.

Произведением матрицы А mxn = ( aij ) на матрицу
B nxp = ( bjk ) называется матрица C mxp = ( cik ) такая что,

cik = ai1 b1k + ai2 b2k + …. + ain bnk

где i = 1,2, … , m ; k = 1,2, …. ,p

Т.е. элемент матрицы С равны сумме произведений элементов i - ой строки матрицы A   на соответствующие элементы к- го столбца матрицы B.

* *

* * * * *
* * * * *
* * * * *

* * * * *
* * * * *
* * * * *

=

Примечание

1. АВ = ВА выполнимо, когда матрицы А и В квадратные и имеют один размер
2. АЕ = ЕА = А выполнимо, когда А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера

i

k

b11 b12
b21 b22
b31 b32

Пример 5

А =

В =

Задание. Найти произведение матрицы С = АВ, если

а11 а12 а13
a21 a22 а23

b11 b12
b21 b22
b31 b32

b11 b12
b21 b22
b31 b32

b11 b12
b21 b22
b31 b32

b11 b12
b21 b22
b31 b32

b11 b12
b21 b22
b31 b32

b11 b12
b21 b22
b31 b32

a11b11 + a12 b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32
a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 a21 b12 + a22 b22 + a23 b32

=

2x3

3x2

                        

3. Дистрибутивность

4. Умножение на единичную матрицу

5. В общем случае умножение матриц не коммутативно            

и     , если                                     

К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С. Н. Федин. – 7-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2008. - 576с.: ил. – ( Высшее образование )
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть / Д.Т. Письменный – 5-е изд. – М.: Айрис – пресс, 2005.-288с.: ил.
Тюрникова Г.В. Курс высшей математики для начинающих: Учебное пособие. – М.: ГУ-ВШЭ, 2008. 376с.