Презентация, доклад по алгебре на тему

Теорема Виета

Факультативное занятие для учащихся 8 класса
Учебник Алгебра 8, автор Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк.
Учитель математики: Мещерякова О.Ю.

Введение

Квадратное уравнение – уравнение общего вида ax2 + bx + c = 0, где
х – свободная переменная
a, b, с – коэффициенты.
a называют первым или старшим коэффициентом;
b называют вторым или коэффициентом при х;
с называют свободным членом.

Теорема Виета

Теорема:
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Приведенное уравнение

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице и имеющее вид
x2 + px + q = 0
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а=1 имеет вид
x1x2 = q
x1 + x2 = -p

а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.
Если р0, то оба корня отрицательны, если р<0, то оба корня положительны.
Например,
x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, т.к. q=20 и
p=-3<0;
x2 + 8x + 7 = 0; x1 =-7 и x2 =-1, т.к. q = 70 и
p= 80.

б) Если свободный член q приведенного уравнения отрицателен (q<0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если р<0, или отрицателен, если р0.
Например,
x2 + 4x – 5 = 0; x1 =-5 и x2 =1, т.к. q=-5<0 и p=40;
x2 - 8х – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = -1, т.к. q = -9<0 и р=-8<0.

Теорема Виета для квадратного уравнения

ax2 + bx + c = 0
x1x2 =

х1 + x2 = -

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа x1 и x2 таковы, что x1 + x2 = -p, x1x2 = q, то x1 и x2 - корни квадратного уравнения x2 + px + q = 0.

Пример №1

1. Решить уравнение x2 – 9x + 14 = 0
x1 + x2 = 9
x1 x2 = 14
Корнями уравнения являются числа 2 и 7. Так как:
2 + 7 = 9
2 * 7 = 14

Пример №2

2. Решить уравнение x2 + 3x – 28 = 0
x1 + x2 = -3
x1 x2 = -28
Корнями уравнения являются числа -7 и 4. Так как:
-7 + 4 =-3
-7 * 4 = 28

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
1. Если a + b + c = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то
x1 = 1, x2 =

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
2. Если а – b + с = 0, или b = а + с, то
x1 = -1, x2 = -

Пример №1

1. Решим уравнение
345х2 – 137х – 208 = 0.
Решение.
Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то
x1 = 1, x2 =

Ответ: 1; -

Пример №2

2. Решим уравнение
132 х2 + 247х + 115 = 0.
Решение. Так как а – b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то
x1 = -1, x2 =-

Ответ: -1; -

х2 + рх + q = 0 ax2 + bx + c = 0
Но: где а = 1, р = b, с = q




или

Пример

1. Решим уравнение х2 – 14х – 15 = 0.
Решение.
Имеем: х1,2 = 7 ± √49+15 = 7 ± √64 = 7 ± 8.
Ответ: x1 = 15, x2 = -1.

Решение уравнений

Не решая квадратного уравнения, определите знаки его корня:
1) x2 - 2х – 15 = 0
2) x2 + 2х – 8 = 0
3) x2 + 10х + 9 = 0
4) x2 - 12х + 35 = 0
5) 3x2 + 14х + 16 = 0
6) x2 - 5х + 6 = 0

х1  0 , x2 < 0

х1 < 0, x2  0

х1 < 0, x2 < 0

х1  0, x2  0

х1 < 0, x2 < 0

х1  0, x2  0

7) x2 - 2х + 1 = 0
8) x2 + 4х + 4 = 0
9) x2 - 6х + 9 = 0
10) 4x2 + 7х – 2 = 0
11) 5x2 - 9х – 2 = 0
12) x2 - 11х + 15 = 0

х1  0, x2  0

х1 < 0, x2 < 0

х1  0, x2  0

х1 < 0 , x2  0

х1  0, x2 < 0

х1  0, x2  0

Решите уравнения, используя свойства коэффициентов.

1) 5x2 - 7х + 2 = 0
2) 3x2 + 5х – 8 = 0
3) 11x2 + 25х – 36 = 0
4) 11x2 + 27х + 16 = 0
5) 839x2 - 448х – 391 = 0
6) 939x2 + 978х + 39 = 0
7) 313x2 + 326х + 13 = 0
8) 2006x2 - 2007х + 1 = 0

х1 = 1, x2 = 0,4

х1 = 1, x2 = -36/11

х1 = -1, x2 = -39/939

х1 = -1, x2 = -13/313

х1 = 1, x2 = 1/2006

х1 = 1, x2 = -8/3

х1 = -1, x2 = -16/11

х1 = 1, x2 = -391/839

Решите приведенные квадратные уравнения по формуле:

1) x2 - 8х – 9 = 0
2) x2 + 6х – 40 = 0
3) x2 +18х + 81 = 0

х1 = 9, x2 = -1

х1 = -10, x2 = 4

х = 9

Спасибо за внимание.