Презентация, доклад научно-исследовательской работы учащихся по теме Квадратные уравнения с параметрами

работа)

Выполнили:
Батькова Яна Олеговна,
Ученица 11а класса МБОУ «СОШ №4»,
Галкин Александр Владимирович,
Ученик 11б класса МБОУ «СОШ №4»,
Коробейникова Луиза Максимовна,
Ученик 11а класса МБОУ «СОШ №4»,
Научный Руководитель:
Магомедов Иосиф Маграмович,
учитель математики МБОУ «СОШ №4»

квадратного уравнения относительно заданных точек.
Задачи исследовательской работы:
систематизировать теоремы о расположении корней квадратного уравнения относительно заданных точек; составить геометрические интерпретации теорем о расположении корней квадратного уравнения; доказать теорем №1, 7, 10; исследовать применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами; разработать общую схему исследования задач, связанных с расположением корней квадратного уравнения.

теоремы о расположении корней квадратного трехчлена. Самостоятельно доказали теоремы 1, 7, 10. Исследовали применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами. Нами составлена оптимальная и наиболее эффективная схема исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c. Приведены подробные решения квадратных уравнений с параметрами с методическими рекомендациями.

расположении корней квадратного трехчлена относительно заданных точек, применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами.
Гипотеза исследования: изучение теорем о расположении корней квадратного трехчлена развивает математические способности и позволит в дальнейшем овладеть приемами и способами решения более сложных задач с параметрами, тем самым обеспечит качественную подготовку к ОГЭ и ЕГЭ.
Первый этап исследований:
1.Исследование расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек;
2.Изучение и систематизация необходимых и достаточных условий расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек;
Второй этап исследований:
1.Исследование применения теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами.
Третий этап исследований:
1.Составление оптимальной и наиболее эффективной схемы исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c.
Четвертый этап исследований:
1.Анализ решений квадратных уравнений с параметрами с методическими рекомендациями.
Пятый этап исследований:
1. Выводы и заключение.
Шестой этап:
1.Написание научной статьи.
Седьмой этап:
1.Составление презентации в PowerPoint

1.Обзор литературы
1.1.Теоремы о расположении корней квадратного уравнения
1.2.Теорема Виета
2.Методы исследования.
2.1.Методы исследования, используемые в работе:
2.2.План исследований
3.Результаты и обсуждение
3.1.Геометрическая иллюстрация и доказательство теорем
3.2.Следствия из теоремы Виета
3.3. Общая схема решения задач, связанных с расположением корней квадратного уравнения
3.4. Примеры решения задач для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике
4.Выводы
Список использованной и рекомендованной литературы
 

 

с параметрами. В настоящее время эта тема стала как никогда актуальной, так как задачи с параметром стали неотъемлемым атрибутом ОГЭ и ЕГЭ. Решение задач с параметрами носит учебно-исследовательский характер, они играют важную роль в формировании логического мышления, развитии творческих способностей учащихся, в формировании научно-исследовательских умений. Задачи с параметрами представляют собой как бы небольшую модель будущей научной работы учащегося. В задачах с параметрами содержится множество приёмов, необходимых не только для математического развития личности, но и и в любом другом научном исследовании. Поэтому решение задач с параметрами и в частности решение квадратных уравнений с параметрами является пропедевтикой научно-исследовательской работы. На ЕГЭ (часто задания С5) и ОГЭ (задания части 2) по математике и на вступительных экзаменах встречаются, в основном, два типа задач с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых для данного уравнения или неравенства выполняются некоторые условия». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В ответе к задаче первого типа перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответе к задаче второго типа указываются все значения параметра, при которых выполняются условия, указанные в задаче.
Анализ вариантов ЕГЭ и ОГЭ по математике и вступительных экзаменов в различные вузы показывает, что большинство предлагаемых задач с параметрами связано с расположением корней квадратного трехчлена. Будучи основной в школьном курсе математики, квадратичная функция формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединенных общей идеей – в основе их решения лежат свойства квадратичной функции. При решении задач с параметрами, в которых фигурирует квадратный трехчлен рекомендуется работать с тремя типами моделей:
вербальная модель – словесное описание задачи;
геометрическая модель – эскиз графика квадратичной функции;
аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается привести примеры решения квадратных уравнений с параметрами с подробными методическими рекомендациями.
 

квадратного трехчлена не входят непосредственно ни в школьную программу по математике, ни в программу для поступающих в вузы, поэтому выпускник или абитуриент, пользуясь ими, вообще говоря, должен уметь их доказывать. В то же время, обоснование теорем о расположении корней квадратного трехчлена строится на элементарных фактах школьной математики. В данном пособии приведены доказательства нескольких теорем.
Введем следующие обозначения: х1, х2 – корни квадратного трехчлена f(x), х1 ≤ х2, D – дискриминант f(x), xb – абсцисса вершины параболы, являющейся графиком f(x). Решение большинства задач с параметром, в которых необходимо провести исследование квадратного трехчлена, сводится к определению необходимых и достаточных условий реализации одного или нескольких из следующих случаев:
Теорема 1.
Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) были больше некоторого числа n, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

график функции f(x) = ax2 + bx + c – пересекала ось ОХ в точках (х1; 0) и (х2; 0), лежащих правее точки (n; 0), необходимо и достаточно выполнения трех условий: 1. вершина параболы – либо лежит в нижней полуплоскости, либо в верхней полуплоскости, либо на оси ОХ ( условие D≥0); 2. ось симметрии параболы – прямая хb = - - лежит правее прямой х = n ( условие xb>n ); 3. парабола пересекается с прямой х = n в точке, лежащей в верхней полуплоскости при a>0 и в точке, лежащей в нижней полуплоскости при а<0 ( условие a∙f(n) >0).

Рис. 1

Рис. 2

дискриминанте, получим, что квадратный трехчлен имеет два корня х1 и х2; пусть х1≤х2. Так как вершина параболы расположена между корнями трехчлена, т.е.х1≤хв≤х2, и, по условию, n < хв, то n < хв ≤х1. Воспользуемся теоремой о разложении квадратного трехчлена на множители и запишем значение трехчлена в точке n , учтем при этом условие f(n) > 0 и уже доказанное неравенство х2 > n:
f(n) = a∙(n – x1)∙(n – x2).
Сравнение знаков левой и правой частей этого неравенства приводит нас к выводу, что выполнено неравенство n – х1<0, т.е. х1>n.
Необходимость. Так как трехчлен имеет два корня, то по теореме о дискриминанте, D≥0. Так как х1> n и х2> n, то х1+х2 > 2n, поэтому
хв = > = n.
По теореме о разложении на линейные множители, с учетом известных по условию знаков, получим запись f(n) = a∙(n – x1)∙(n – x2), из которой следует, что f(n) > 0. Тем самым теорема доказана полностью.

меньше некоторого числа m, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Рис. 3

Рис. 4

заданному промежутку (n; m), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Рис. 5

Рис. 6

(n; m) тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:

Рис. 7

промежутку (n; m) тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:

лежат вне заданного промежутка (n; m), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

f(x) был больше заданного числа n, а другой меньше, необходимо и достаточно выполнение условия (или для того чтобы некоторое число n лежало между корнями квадратного трехчлена, необходимо и достаточно выполнение условия):

а другой расположен вне этого интервала тогда и только тогда, когда выполняется условие f(n)∙f(m)<0. Теорема 9. Квадратный трехчлен f(x) имеет два корня, расположенные по одному на каждом из двух непересекающихся интервалов (d1; d2) и (d3; d4) тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:

и x2 + p2x + q2 = 0, дискриминанты которых неотрицательны, имеют по крайней мере один общий корень тогда и только тогда, когда (q2 – q1)2 = (p2 – p1)(p1q2 – q1p2).

Доказательство.
Пусть f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2 и числа х1, х2 являются корнями уравнения f1(x) = 0. Для того чтобы уравнения f1(x) = 0 и f2(x) = 0 имели по крайней мере один общий корень, необходимо и достаточно, чтобы f1(x)∙f2(x) = 0, т. е. чтобы (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2) = 0. Представим последнее равенство в виде
(x12 + p1x1 + q1 + (p2 – p1)x1 + q2 – q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 – p1)x2 + q2 – q1) = 0.
Поскольку х12 + p1x1 + q1 = 0 и x22 + p1x2 + q1 = 0, отсюда получаем
((p2 – p1)x1 + (q2 – q1))((p2 – p1)x2 + (q2 – q1)) = 0, т. е.
(p2 – p1)2x1x2 + (q2 – q1)(p2 – p1)(x1 + x2) + (q2 – q1)2 = 0.
По теореме Виета x1 +x2 = -p1 и x1x2 =q1; следовательно,
(p2 – p1)2q1 – (q2 – q1)(p2 - p1)p1 + (q2 – q1)2 = 0, или
(q2 – q1)2 = (p2 - p1)( (q2 – q1)p1 - (p2 - p1)q1) = (p2 – p1)(q2p1 – q1p1 – p2q1 + p1q1) =
(p2 – p1)(q2p1 – p2q1), что и требовалось доказать.

с помощью теоремы Виета:
если х1, х2 – корни квадратного уравнения
aх2 + bх + c = 0, a≠0, то

Квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0:
1) имеет два действительных положительных корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:

одновременно выполняются условия:

3) имеет два действительных корня разных знаков тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:

;

4) имеет два действительных корня одного знака, если

когда он обращается в нуль.
Замечание 2. Если дискриминант квадратного уравнения является полным квадратом, то вначале удобней найти явные выражения для его корней.
Замечание 3. Если уравнение, содержащее несколько неизвестных, является квадратным относительно одной из них, то часто ключом к решению задачи служит исследование его дискриминанта.
 
Составим схему исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c:
1.Исследование случая а = о (если первый коэффициент зависит от параметров).
2.Нахождение дискриминанта D (а≠0).
3.Если D - полный квадрат некоторого выражения, то нахождение корней х1, х2 и подчинение условиям задачи.
4.Если не извлекается, то графический анализ задачи (геометрическая модель).
5.Аналитическое описание подходящих случаев расположения параболы, для чего учитываются: знак коэффициента при х, значение и знак дискриминанта, значения и знаки квадратичной функции в изучаемых точках, расположение вершины параболы относительно изучаемых точек (аналитическая модель).
6.Объединение получаемых неравенств и составление системы или систем неравенств,
7.Решение полученных систем.

по математике  

Пример 3. Найти все значения а, для которых уравнение х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) = 0 имеет два положительных корня.
Решение. Из теоремы Виета для того чтобы оба корня х1 и х2 данного уравнения были положительными, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) был неотрицательным, а произведение х1∙х2 и сумма х1 + х2 были положительными. Получаем, что все а, удовлетворяющие системе


И только они, являются решениями поставленной задачи. Э та система равносильна системе


Решением которой , а следовательно, и самой задачи являются все числа из промежутка [4; + ∞).

- 2(а + 3)х + 4а = 0
имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3?
Решение. По теореме 6, для того чтобы оба корня данного квадратного трехчлена лежали вне заданного промежутка, необходимо и достаточно выполнение условий


Получим систему неравенств:


Ответ: .

– 2ах + 3а – 1 = 0 имеет два корня, расположенные по одному на каждом из интервалов (0; 1) и (2; 4)?
Решение. Согласно теореме 9, квадратный трехчлен f(x) = (a-1)x2 – 2ax + 3a – 1 имеет два корня, расположенные по одному на каждом из промежутков (0; 1) и (2; 4), если выполняются условия

то есть


< а < 1;


Ответ:

поставленные задачи: изучили и систематизировали теоремы о расположении корней квадратного трехчлена (необходимые и достаточные условия расположения корней квадратичной функции относительно заданных точек). Составили геометрические интерпретации основных теорем. Привели доказательства теорем 1,7, 10. Исследовали применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами. Нами составлена оптимальная и наиболее эффективная схема исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена f(x) = ax2 + bx + c. Приведены подробные решения квадратных уравнений с параметрами с методическими рекомендациями.
Анализ вариантов ЕГЭ и ОГЭ по математике и вступительных экзаменов в различные вузы показывает, что большинство предлагаемых задач с параметрами связано с расположением корней квадратного трехчлена. Будучи основной в школьном курсе математики, квадратичная функция формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединенных общей идеей – в основе их решения лежат свойства квадратичной функции. Мы пришли к выводу, что при решении задач с параметрами, в которых фигурирует квадратный трехчлен. рекомендуется работать с тремя типами моделей:
вербальная модель – словесное описание задачи;
геометрическая модель – эскиз графика квадратичной функции;
аналитическая модель – система неравенств, составленная на основе теорем о расположении корней квадратного трехчлена и теоремы Виета, при помощи которой описывается геометрическая модель.

гипотезы, что изучение теорем о расположении корней квадратного трехчлена развивает математические способности и позволит в дальнейшем овладеть приемами и способами решения более сложных задач с параметрами, тем самым обеспечит качественную подготовку к ОГЭ и ЕГЭ. Решение квадратных уравнений с параметрами открывает перед нами значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале.
Мы убедились в том, что огромную роль играют задачи с параметрами, в которых фигурирует квадратный трехчлен в формировании логического мышления, математической культуры, развития исследовательских навыков. В процессе работы над данным проектом у нас повысился интерес к предмету, ориентация на подготовку продолжения образования по избранному предмету. Поэтому, владея методами решения задач с параметрами можно успешно справиться и с другими задачами. Наша творческая и исследовательская работа по данной теме помогла нам в подготовке к ОГЭ, мы научились решать задания с параметрами, входящие в КИМы ОГЭ (задание №23) и ЕГЭ (задание С5 –задание 18).

П.И. Задачи по математике. Алгебра/В.В.Вавилов, И.И.Мельников, С.Н.Олехник, П.И.Пасиченко// М.: «Наука», 1988. – 432 с.
2.Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства./ В.В.Вавилов, И.И.Мельников, С.Н.Олехник, П.И.Пасиченко// М.: «Наука», 1988. – 240 с.
3.Горштейн П.И., Полонский В.Б.,Якир М.С. Задачи с параметрами/П.И. Горштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир// М.:«Илекса», Харьков.:«Гимназия», 2002. – 336 с.
4.Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы./ Г.В.Дорофеев., М.К.Потапов., Н.Х.Розов//Москва. «Наука», 1976.
5.Жаржевский А.Я., Фельдман Я.С. Решение задач с параметрами/ А.Я. Жаржевский, Я.С. Фельдман// Санкт-Петербург. «Агентство ИГРЕК», 1996.
6.Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа 8-11. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики/ Л.И. Звавич , Л.Я. Шляпочник, М.В. Чинкина//«Дрофа», Москва, 2001.
7.Козко А.И., Чирский В.Г.. Задачи с параметрами и другие сложные задачи/ А.И. Козко, В.Г. Чирский// М.: МЦНОМО, 2007, - 296 стр.
8.Никольская И.Л. Факультативный курс по математике 7-9 классы/ И.Л. Никольская// Москва, «Просвещение»,1991. – 383с.
9.Прокофьев А.А. Задачи с параметрами/ А.А. Прокофьев// М.:МИЭТ,2004, - 258С.
10.Рязановский А.Р. 500 способов и методов решения задач по математике для школьников и поступающих в вузы/ А.Р. Рязановский//Москва, «Дрофа», 2001. – 480 с.
11.Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы/ О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев// Москва, .«АСТ – Пресс. Школа» 2002.
12.Шабунин М.И. Математика для поступающих в ВУЗы/ М.И. Шабунин// Москва, .«Аквариум», 1997. – 272 с.
13.Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: решение задач. 10 класс/ И.Ф. Шарыгин// Москва. «Просвещение»,1989. – 252с.
14.Шарыгин И.Ф., Голубев В.И.. Факультативный курс по математике. 11 класс/ И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев// Москва. «Просвещение», 1991. – 384с.
15.Шарыгин И.Ф. Сборник задач по математике с решениями/ И.Ф. Шарыгин//Москва, «Астрель», 2001. – 400 с.