Презентация, доклад Квадратные уравнения. От истоков к современности

Анастасия
Руководитель : Маслова Елена Владимировна

великое искусство

с историей появления и развития квадратных уравнений

2) Используя дополнительную литературу, изучить способы решения, которых нет в учебнике

3)Узнать применение квадратных уравнений в жизни

Гипотеза: Предполагаю, что квадратные уравнения можно решить многими способами, и они находят своё применение в жизни человека

но и второй ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Правила решения этих уравнений , изложенные в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, но в этих текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

как Диофант, Евклид и Герон.
Диофант Александрийский – древнегреческий математик, живший предположительно в III веке нашей эры. Основное произведение Диофанта – «Арифметика» в 13 книгах.
Евклид древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике
Герон – греческий математик и инженер впервые в Греции в I век н.э. дает чисто алгебраический способ решения квадратного уравнения

астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ax2 + bх = с, а> 0. (1)
В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных
задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды,
так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

резвых стая А двенадцать по лианам
Всласть поевши, развлекалась Стали прыгать, повисая
Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,
На поляне забавлялась Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.
Соответствующее задаче уравнение
Бхаскара пишет под видом
x - 64x = - 768
и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:
x2 - б4х + 322 = -768 + 1024,
(х - 32)2 = 256,
х - 32= ±16,
x1 = 16, x2 = 48.

Ал – Хорезм и дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корням», т.е. ах2 + с = bх.
2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2 = с.
3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.
4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх.
5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bx = с.
6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах2.

образцу Ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

выделения полного квадрата

3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле

4. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения

5. СПОСОБ : Решение уравнений с использованием теоремы Виета
 

Учебник

15 = 0.
Решение. "Перебросим" коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у2 - 11у + 30 = 0.
Согласно обратной теореме Виета
y1 = 5, x1=2,5
y2 = 6, x2 =3
Ответ: х1=2,5; х2= 3.

bх + с = 0, а ≠ 0
1. Если a+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = c/а
2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = - 1, х2 = -  c/а
Решим уравнение : 3х2 – 2х – 1  = 0
3 – 2 – 1 =0
х1 = 1 х2 = - 1/3

линейки
Решим уравнение х2 - 2х - 3 = 0.
Решение
 Определим координаты точки центра окружности по формулам:
х0 = 2/2=1, у0= -2/2=-1 то есть (1;-1)
Проведем окружность радиуса S A, где А (0;1)
y

3

-1

1

0

у2 - 6у - 16 = 0.
Преобразуя уравнение, получаем
у2 - 6у = 16.
Находим «изображения» выражения у2 - 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3.
Значит, если к выражению у2 - 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у - 3. Заменяя выражение у2 - 6у равным ему числом 16,
получаем: (у - 3)2 = 16 + 9, т.е. у - 3 = ± √25, или у - 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = - 2.

и её следствие рассматриваются в старших классах. Смысл состоит в том, что нужно подставить в уравнение вместо неизвестной все целые делители свободного члена уравнения, и поделить столбиком наш трехчлен на (х- а), где а – найденный корень. Затем разложить на множители и найти остальные корни. Приведу пример:
х²-4х+3=0
Р2 (х) = х²-4х+3
±1,±3. х =1, 1-4+3=0
Разделим р (х) на (х-1)
(х²-4х+3) / (х-1) =х-3
х²-4х+3= (х-1) (х-3)
(х-1) (х-3) =0
<=> х-1=0; х1=1, или х-3=0, х2=3; Ответ: х1=1, х2=3.
 

в глубокой древности, они уже сталкивались с ними при решении некоторых задач и пробовали их решать.
Рассматривая различные способы решения квадратных уравнений, я пришла к выводу, что не все они просты. На мой взгляд самым лучшим способом решения квадратных уравнений является решение по формулам. Формулы легко запоминаются, этот метод универсальный. Именно поэтому в учебнике упор делается именно на него.
Моя гипотеза, что уравнения широко применяются в жизни и математике подтвердилась.
Изучив тему , я познакомилась с интересными фактами о квадратных уравнениях , их использовании , применении, решениях.
Эти знания могут пригодиться нам в жизни, и я думаю, что мою презентацию можно использовать в учебном процессе, чтобы заинтересовать увлекающихся математикой школьников и просто тех детей, которые не видят смысла в квадратных уравнениях