- Главная
- Разное
- Образование
- Спорт
- Естествознание
- Природоведение
- Религиоведение
- Французский язык
- Черчение
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
Презентация, доклад к занятию Числовые ряды, сходимость рядов
Содержание
- 1. Презентация к занятию Числовые ряды, сходимость рядов
- 2. Основные понятия теории числовых рядовОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение видаu1 + u2 + … + un + … = называют
- 3. Если, начиная с некоторого номера N для
- 4. Для ряда ∑un запишем последовательность S1 = u1 , S2 = u1 + u2 ,
- 5. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ РЯДОВТЕОРЕМА 1. Поведение ряда относительно
- 6. СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ 2. 1) Если ∑un расходится, то
- 7. СХОДИМОСТЬ ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВТЕОРЕМА 1 (необходимое и достаточное
- 8. ТЕОРЕМА 3 (второй признак сравнения - предельный).
- 9. ЭТАЛОННЫЕ РЯДЫ(используются в признаках сравнения) а) гармонический ряд
- 10. ТЕОРЕМА 4 (признак Даламбера). Пусть ∑un –
- 11. ТЕОРЕМА 5 (признак Коши). Пусть ∑un –
Основные понятия теории числовых рядовОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение видаu1 + u2 + … + un + … = называют числовым рядом. Члены последовательности {un} называются членами ряда (1-м, 2-м, …, n-м (общим членом) )
Слайд 2Основные понятия теории числовых рядов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение вида
u1 + u2 + … + un + … =
называют числовым рядом.
Члены последовательности {un}
называются членами ряда (1-м, 2-м, …, n-м (общим членом) )
Слайд 3Если, начиная с некоторого номера N для членов ряда, справедливо равенство
uN = uN + 1 = uN + 2 = … = 0 ,
то ряд называют конечным. В противном случае ряд называется бесконечным .
Ряд ∑un называют:
знакоположительным, если un ≥ 0 , ∀n∈ℕ ;
знакоотрицательным, если un ≤ 0 , ∀n∈ℕ ;
знакопостоянным, если он знакоположительный или знакоотрицательный;
знакопеременным, если он содержит бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.
то ряд называют конечным. В противном случае ряд называется бесконечным .
Ряд ∑un называют:
знакоположительным, если un ≥ 0 , ∀n∈ℕ ;
знакоотрицательным, если un ≤ 0 , ∀n∈ℕ ;
знакопостоянным, если он знакоположительный или знакоотрицательный;
знакопеременным, если он содержит бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.
Слайд 4Для ряда ∑un запишем последовательность
S1 = u1 , S2 = u1 + u2 , … , Sn = u1 + u2 + … + un ,
…
Числа S1, S2 , …, Sn называют частичными суммами ряда ∑un
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд ∑un называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм { Sn }.
При этом, число называют суммой ряда ∑un .
Если , то говорят, что ряд ∑un
расходится и не имеет суммы.
Если S – сумма ряда ∑un , то записывают: ∑un = S .
Числа S1, S2 , …, Sn называют частичными суммами ряда ∑un
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд ∑un называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм { Sn }.
При этом, число называют суммой ряда ∑un .
Если , то говорят, что ряд ∑un
расходится и не имеет суммы.
Если S – сумма ряда ∑un , то записывают: ∑un = S .
Слайд 5ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
ТЕОРЕМА 1.
Поведение ряда относительно сходимости не изменится, если
добавить (отбросить) конечное число членов ряда.
ТЕОРЕМА2 (об арифметических действиях над сходящимися рядами)
Если ряд ∑un сходится и его сумма равна U ,
ряд ∑vn сходится и его сумма равна V , то
а) ряд ∑cun – сходится и его сумма равна cU (∀c∈ℝ);
б) ряд ∑(un ± vn) – сходится и его сумма равна U ± V .
ТЕОРЕМА2 (об арифметических действиях над сходящимися рядами)
Если ряд ∑un сходится и его сумма равна U ,
ряд ∑vn сходится и его сумма равна V , то
а) ряд ∑cun – сходится и его сумма равна cU (∀c∈ℝ);
б) ряд ∑(un ± vn) – сходится и его сумма равна U ± V .
Слайд 6СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ 2.
1) Если ∑un расходится, то ∀c≠0 (c∈ℝ)
ряд ∑cun –
тоже расходится.
2) Если ряд ∑un сходится , а ряд ∑vn расходится, то ряд ∑(un ± vn) – расходится.
ТЕОРЕМА 3 (необходимый признак сходимости ряда).
Если ряд ∑un сходится, то
СЛЕДСТВИЕ теоремы 3 (достаточное условие расходимости ряда)
Если , то ряд ∑un расходится.
2) Если ряд ∑un сходится , а ряд ∑vn расходится, то ряд ∑(un ± vn) – расходится.
ТЕОРЕМА 3 (необходимый признак сходимости ряда).
Если ряд ∑un сходится, то
СЛЕДСТВИЕ теоремы 3 (достаточное условие расходимости ряда)
Если , то ряд ∑un расходится.
Слайд 7СХОДИМОСТЬ ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ
ТЕОРЕМА 1 (необходимое и достаточное условие сходимости
знакоположительного ряда).
Знакоположительный
ряд сходится ⇔ последовательность его частичных сумм ограничена.
ТЕОРЕМА 2 (первый признак сравнения).
Пусть ∑un и ∑vn – знакоположительные ряды, причем
un ≤ vn , ∀n≥N (N∈ℕ).
Тогда:
1) если ряд ∑vn сходится, то и ряд ∑un тоже сходится;
2) если ряд ∑un расходится, то и ряд ∑vn тоже расходится.
ТЕОРЕМА 2 (первый признак сравнения).
Пусть ∑un и ∑vn – знакоположительные ряды, причем
un ≤ vn , ∀n≥N (N∈ℕ).
Тогда:
1) если ряд ∑vn сходится, то и ряд ∑un тоже сходится;
2) если ряд ∑un расходится, то и ряд ∑vn тоже расходится.
Слайд 8ТЕОРЕМА 3 (второй признак сравнения - предельный).
Пусть ∑un и ∑vn
– знакоположительные ряды.
Если при n → ∞ существует конечный и отличный от нуля предел отношения их общих членов, т.е.
то ряды ∑un и ∑vn ведут себя одинаково по отношению к сходимости.
Если при n → ∞ существует конечный и отличный от нуля предел отношения их общих членов, т.е.
то ряды ∑un и ∑vn ведут себя одинаково по отношению к сходимости.
Слайд 9ЭТАЛОННЫЕ РЯДЫ
(используются в признаках сравнения)
а) гармонический ряд
– расходится;
б) обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле)
в) ряд геометрической прогрессии
б) обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле)
в) ряд геометрической прогрессии
Слайд 10
ТЕОРЕМА 4 (признак Даламбера).
Пусть ∑un – знакоположительный ряд и существует
Тогда:
а) если ℓ < 1 , то ряд сходится;
б) если ℓ > 1 , то ряд расходится;
в) если ℓ = 1 , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Слайд 11
ТЕОРЕМА 5 (признак Коши).
Пусть ∑un – знакоположительный ряд и существует
Тогда
а) если
ℓ < 1 , то ряд сходится;
б) если ℓ > 1 , то ряд расходится;
в) если ℓ = 1 , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
б) если ℓ > 1 , то ряд расходится;
в) если ℓ = 1 , то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
