Презентация, доклад к уроку Понятие производной

СПО «Колледж КЭСи»
Дата создания презентации:07.01.2016

Тема

Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции

окрестности фиксированной точки х0. Разность х-х0 называется приращением независимой переменной
(или приращением аргумента) в точке х0 и обозначается ∆х.
∆х = х – х0 – приращение независимой переменной
Приращением функции f в точке x0 называется разность между значениями функции в произвольной точке и значением функции в фиксированной точке.

f(х) – f(х0)=f(х0+∆х) – f(х0) – приращение функции f
∆f=f(х0+∆х) – f(х0)

Возьмем любую точку x0 из этого интервала и зададим аргументу x в точке x0 произвольное приращение ∆x такое, что точка x0 +∆ x принадлежит этому интервалу. Функция получит приращение

Производной функции y=f(x) в точке x =x0 называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к приращению аргумента ∆x, при стремлении приращения аргумента к нулю.

схеме:
1. Дадим аргументу x приращение ∆x≠0 и найдем наращенное значение функции y+∆y= f(x+∆x).
2. Находим приращение функции ∆y= f(x+∆x) - f(x).
3. Составляем отношение
4. Находим предел этого отношения при ∆x⇾0, т.е.




( если этот предел существует).

значение функции в фиксированной точке.
f(x0+∆x)=(x0+∆x)2-значение функции в произвольной точке.
2) Найдём приращение функции:
∆f=f(x0+∆x)-f(x0)=(x0+∆x)2-x02 =x02+2x0∆x+∆x2-x02=2x0∆x+∆x2.
3)Найдем разностное отношение:
4)При ∆x 0 2х0+∆х 2х0, значит (х02)'=2х0.
5)Для любого х: (х2)'=2х.

k – угловой коэффициент прямой(секущей)

А

В

Итог

Геометрический смысл производной
Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

в точке х0
равна угловому коэффициенту касательной
в точке х0 и тангенсу угла наклона касатель-
ной
k=tgα=∆y/∆x

некоторой прямой движется точка по закону s= s(t), где s- пройденный путь, t- время, и необходимо найти скорость точки в момент t0 .
К моменту времени t0 пройденный путь равен s0 = s(t0), а к моменту (t0 +∆t) – путь s0 + ∆s=s(t0 +∆t).
Тогда за промежуток ∆t средняя скорость будет
Чем меньше ∆t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t0. Поэтому под скоростью точки в момент t0 следует понимать предел средней скорости за промежуток от t0 до t0 +∆t, когда ∆t⇾0 , т.е.

вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества Q изменяется в течение реакции в зависимости от времени t и является функцией от времени. Пусть за время ∆t количество вещества изменяется на ∆Q , тогда отношение будет выражать среднюю скорость химической реакции за время ∆t, а предел этого отношения
- скорость химической реакции в данный момент
времени t.

3. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

Если m- масса радиоактивного вещества и t- время, то явление радиоактивного распада в момент времени t при условии, что масса радиоактивного вещества с течением времени уменьшается, характеризуется функцией m= m(t).
Средняя скорость распада за время ∆t выражается отношением


а мгновенная скорость распада в момент времени t

.

пути по време-
ни равна мгновенной скорости в момент
времени t0:
S'(t0)=V(t0).

x.
1) (u  v) = u  v
2) (uv) = uv +uv
(cu) = cu
3) , если v  0

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Высш. школа,2005.
Высшая математика : Учеб.- 2-е изд., перераб. и доп./ Ильин В.А., Куркина А. – М.:ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006.
Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н; под ред. проф. Кремера Н.Ш.-2-е изд., перераб. и доп. –М.: ЮНИТИ, 2000.
Математика: Учебник (Серия «Профессиональное образование»)/ Дадаян А.А.- М.: ФОРУМ: ИНФА-М,2004.
Математический анализ: задачи и решения : учебное пособие/ Г.И. Просветов. -М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.