Презентация, доклад к уроку Элементы теории вероятностей

обозначать буквой Ω, при этом сами элементарные исходы обозначаются
ω1, ω2, ω3 и т.д.
Пример. Из колоды в 36 карт вытаскивается 1 карта.
В этом случае Ω состоит из 36 исходов:
Ω = {6♣, 6♦, 6♥, 6♠, 7♣,…}.

стал элементарный исход ω∈А.
Событие, совпадающее со всем пространством Ω, называют достоверным (это событие происходит при любом результате эксперимента).
Пустое множество называется невозможным событием
(не происходит никогда).

и не произойти, в результате некоторого эксперимента.

Случайное событие

в том, что происходит хотя бы одно из этих событий.
Произведением событий А и В называется событие А⋅В, которое заключается в том, что происходят оба этих события. Если А⋅В – невозможное событие, то события А и В называются несовместными.
Разностью между событием А и событием В называется событие А–В, которое заключается в том, что событие А происходит, а событие В не происходит.
Событием, противоположным событию А, называется событиеА, которое заключается в том, что событие А не происходит.

называется заданная на этом пространстве числовая функция Р, обладающая двумя свойствами:
Р(ωi) ≥ 0 для всех i;
Р(ω1) + Р(ω2) + Р(ω3) + … = 1
Величину Р(ωi) называют вероятностью исхода ωi и обозначают рi. Эта величина характеризует частоту появления данного исхода в результате проведения серии экспериментов.
Вероятность на пространстве Ω удобно бывает задавать с помощью таблицы:
Такая таблица иногда называется распределением вероятности на пространстве Ω.

всех элементарных исходов считаются одинаковыми. Этот подход применим лишь в случае, когда пространство элементарных исходов конечно.


Статистический подход предполагает проведение большого количества экспериментов, после чего в качестве pi берется частота исхода ωi, то есть отношение числа экспериментов, при которых данный исход имел место, к общему количеству экспериментов.

нем вероятностью Р называется вероятностным пространством.
Вероятностью события А называется сумма вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих этому событию.
При этом вероятность невозможного события полагается равной нулю.
Свойства вероятности.
Р(Ω) = 1
0≤Р(А)≤1 для любого события А
Если А⊂В, то Р(А)≤Р(В)
Если события А и В несовместны, то
Р(А+В) = Р(А) + Р(В)
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А⋅В) для любых событий А и В

Формула позволяет находить вероятность данного события чисто комбинаторными методами.
Задача . Из карточной колоды (36 карт) берется карта. Какова вероятность, что она бубновой масти?
Решение. В данном случае пространство Ω состоит из 36 элементарных исходов (по числу карт в колоде). Предположение о том, что эти исходы равновероятны, не выглядит слишком смелым. Так как благоприятных исходов 9, то, согласно формуле .

или 8 очков?
Решение:
7 очков: 6/36=1/6
8 очков: 5/36

него извлекают жетоны и записывают соответствующие буквы, причем вынутые жетоны обратно не возвращаются.
Какова вероятность того что:
Получится слово «око»
Получится слово «ар»

него извлекают 6 жетонов и располагают их в порядке извлечения. Какова вероятность получить слово «Москва», если:
вынутые жетоны обратно возвращаются
вынутые жетоны обратно не возвращаются?
1) 2)

положили в мешок и перемешали.
Какова вероятность, что после поочередного извлечения получится тоже слово?

«г».
Из него 4 раза извлекают жетон, который после записи снова возвращается обратно.
Какова вероятность, что при этом ни одна буква не повторится дважды?

что обе они бубновой масти?
Решение.
Тогда пространство элементарных исходов Ω состоит из неупорядоченных пар (то есть сочетаний из 36 по 2). Их общее количество .

Множество благоприятных исходов состоит из неупорядоченных пар карт бубновой масти. Их общее количество =36.


Отсюда

подгруппы по 6 команд в каждой. Какова вероятность, что две наиболее сильные команды окажутся в одной подгруппе?
Решение.
Назовем две сильнейшие команды «Спартак» и ЦСКА.
В качестве элементарного исхода будем рассматривать неупорядоченную выборку, состоящую из пяти команд, попавших в одну группу со
«Спартаком». Тогда

Благоприятный исход – это такая выборка, в которой присутствует ЦСКА, остальные же 4 команды выбираются из 10 оставшихся. Таким образом, число благоприятных выборок равно


То есть искомая вероятность равна

Какова вероятность, что это событие рано или поздно произойдет?
Решение.
Вероятность того, что шестерка не выпадет ни
разу за n бросаний равна .
Соответственно, вероятность того, что шестерка выпадет хотя бы
раз (за n бросаний), равна .
Вероятность того, что шестерка выпадет когда-нибудь, не меньше этой величины.
Так как с ростом n величина стремится к нулю, то искомая вероятность равна 1.

двух событий означает, что вероятность каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет, то есть

р(В⎪А) = р(В) и р(А⎪В) = р(А).

р(А )-р(А)р(В).
Пример 9:
Два зенитных орудия стреляют одновременно и независимо друг от друга по самолету. Самолет сбит, если в него попал хоть один снаряд.
Какова вероятность сбить самолет, если вероятность попадания первого орудия равна 0,8, а второго 0,75

событие А? Эта величина носит название условной вероятности и обозначается p(B⎪A) (читается «вероятность B при условии A»). Таким образом имеем:





Обычно эта формула служит определением условной вероятности. Формулу обычно используют для определения вероятности произведения двух (или нескольких) событий:

р(АВ) = р(А)⋅р(В⎪А)

P(A) = P(A⎮B)⋅P(B) + P(A⎪В)⋅P(А)
Пример 10. В 40% ящиков белые шары составляют 60%, а в 60% ящиков они составляют 20%. Из случайно взятого ящика наугад выбирается шар. Какова вероятность, что этот шар белый?
Решение.
Пусть событие В состоит в том, что выбран ящик первого типа. Тогда
Р(В) = 0,4; P(А) = 0,6; P(Б⎮B) = 0,6; P(Б⎪А) = 0,2.
Применяя формулу из предыдущей задачи, получим
Р(А) = 0,6⋅0,4+0,2⋅0,6 = 0,36.

в сумме дают все пространство Ω. Тогда справедлива формула



Эта формула называется формулой полной вероятности.
Пример 11.
В физико-математическом классе учится 50% математиков, 30% физиков и 20% лодырей. Каждый из математиков выучили по 80% заданных учителем формул, каждый из физиков – по 60%, а каждый из лодырей – по 10%.
Какова вероятность, что случайно выбранный ученик правильно напишет необходимую формулу?

заводом 2 и на 50% - заводом 3.
Для 1 завода вероятность выпуска бракованной лампочки равна 0,01
Для 2 -0,005
Для 3 – 0,006.
Какова вероятность того, что взятая наугад лампочка оказалась бракованной?

всевозможные случаи, и если известны вероятности события А при каждой из этих гипотез, то по этой формуле можно найти вероятность гипотезы Нk при условии, что прошло А.

30% – в ТГТУ и 50% – в ТВГУ. Среди поступающих в московские вузы 20% сдают выпускной экзамен по ОБЖ, среди поступающих в ТГТУ и ТВГУ этот процент составляет 60% и 40% соответственно. Известно, что Вася решил сдавать экзамен по ОБЖ. Какова вероятность, что он собирается продолжить свое образование в ТГТУ?

из нулей и единиц, в котором единица соответствует успешно проведенному испытанию, а нуль означает, что в соответствующем испытании событие А не произошло. Вероятность того, что на k - ом месте в этом наборе стоит единица равна р, нуль q. Так как испытания независимы, то вероятность результата серии равна произведению вероятностей результатов отдельных испытаний. В этом произведении m раз встречается число р и n–m раз – число q. Осталось сосчитать количество наборов, состоящих из m нулей и n–m единиц.
Таких наборов, очевидно, .
Отсюда получаем справедливость формулы.

3 очка выпадут ровно 2 раза?

Пример 13

7 выстрелов.
Какова вероятность попасть в мишень ровно 3 раза?

Пример 14

вероятность того, что взятые наугад 4 детали окажутся без дефектов?
Из 10 винтовок, среди которых 6 снайперских и 4 обычные, наугад выбирается одна и из нее производится выстрел. Какова вероятность попадания, если вероятность попадания из снайперской винтовки 0,9, а из обычной 0,7?
На карточке спортлото написаны числа от 1 до 49. Какова вероятность того, что наугад зачеркнутое число на этой карточке кратно 6?
В магазин вошли 11 покупателей. Вероятность совершить покупку каждым из них равна 0,1. Какова вероятность того, что 7 из них совершат покупку7?
Из последовательности чисел 101,102,103,…200 выбирают наугад с возвращением 10 чисел. Какова вероятность того, что среди них кратных 8 будет не более одного?

0,9*0,6+0,4*0,7=0,82
Чисел, кратных 6, всего 8,
P=0,1; q=1-0.1=0,9
Среди данных чисел кратных 8 – 13, значит вероятность выбрать из 100 чисел 13 равна
Тогда искомая вероятность