Презентация, доклад к исследовательской работе на тему Признаки делимости натуральных чисел

Вера 6 класс
Руководитель: Шепелева Г.А., учитель математики первая кв. категория

натуральных чисел на 2, 5, 3, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел и на другие числа.

Объект исследования: делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: признаки делимости натуральных чисел.

школьном курсе математики. Научиться применять их к решению нестандартных задач.
Задачи: 1. Повторить признаки делимости, изучаемые в школе.
2. Изучить дополнительную литературу о других признаках делимости натуральных чисел.
3. Систематизировать и обобщить все известные признаки.
4. Вывести и сформулировать свои правила делимости.
5. Рассмотреть задачи на применение признаков делимости натуральных чисел.

делимости натуральных чисел новыми, не входящими в школьную программу.

Методы исследования: сбор информации, наблюдение, сравнение, обобщение, анализ, обработка данных, обобщение и использование данных на практике.

на 0 или любое четное число, то оно делится на 2. Пример: 132, 35560, 3798.

На 3: Если сумма цифр числа делится на 3, то и все число делится на 3.
Пример: 345621:3=115207, т.к.3+ 4+5+6+2+1=21, а 21:3.

На 9: Если сумма цифр числа делится на 9, то и все число делится на 9.
Пример: 45621:9=5069, т.к. 4+5+6+2+1=18, а 18:9.

На 5: Если натуральное число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5.
Пример: 750, 2305

На 10: На 10 делится любое натуральное число, которое оканчивается на 0.
Пример: 35740, 3500000

две его последние цифры нули или составляют число, делящееся на 4.
Пример: 31412, 12:4, следовательно, 31412:4= 7828

На 7: Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.
Примеры: 945:7=135, т.к. 9*2+45= 63, а 63 делится на 7
или 1001:7= 143, т.к. 10*2+1=21, а 21 делится на 7.

На 11: Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.
Пример: 9163627:11= 833057, т.к. 9+6+6+7=28, 1+3+2=6, 28-6=22,
а 22 делится на 11.

тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.
Пример: 465400:13=35800, т.к. 465-400=65, а 65делится на 13.

Или другой признак: Число делится на 13, если сумма числа десятков и учетверенной цифрой в разряде единиц делится на 13.
Пример: 845:13= 65, т.к. 84+5*4=104, а 104 делится на 13.

На 17: Число делится на 17, если модуль разности числа десятков и умноженной на 5 цифрой в разряде единиц делится на 17.
Примеры: 221:17= 13, т.к. 22-1*5= 17, а 17 делится на 17.
1428:17= 84, т.к. 142-8*5= 102, а 102 делится на 17.

На 19: Число делится на 19, если сумма его десятков с удвоенной цифрой единиц делится на 19.
Примеры: 456:19=24, т.к. 45+6*2= 57, а 57 делится на 19.
1824:19=96, т.к. 182+4*2= 190, а 190 делится на 19.

сложенное с умноженной на 7 цифрой в разряде единиц, делится на 23.
Пример: 207:23=9, т.к. 20+7*7 69, а 69делится на 23.

На 29: Число делится на 29, если число его десятков, сложенное с утроенной цифрой в разряде единиц, делится на 29.
Пример: 261:29=9, т.к. 29+3*1= 29, а 29 делится на 29.

На 31: Число делится на 31, если модуль разности числа десятков и утроенной цифры числа в разряде единиц делится на 31.
Пример: 744:31=24, т.к. 74-4*3=62, а 62 делится на 31

На 37: Число делится на 31, если при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц), сумма этих групп делится на 37.
Пример: 23088:37=624, т.к. 088+23=111, а 111 делится на 37.

и четырехкратной цифры в разряде единиц делится на 41.
Пример: 1107:41= 27, т.к. 110 – 4*7=82, а 82 делится на 41.

На 59: Число делится на 59, если число десятков, сложенное с цифрой единиц, умноженной на 6, делится на 59.
Пример: 767:59= 13, т.к. 76+ 6*7= 118, а 118 делится на 59.

На 79: число делится на 79, если сумма числа десятков и цифрой единиц, умноженной на 8, делится на 79.
Пример: 711:79= 9, т.к. 71+ 8*1= 79, а 79 делится на 79.

чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).
Пример: 12276:99=124, т.к. 76+22+1= 99, а 99 делится на 99.

На 101: Число делится на 101, когда сумма чисел, образующих нечетные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+» и четных со знаком «-» делится на 101.
Примеры: 437027:101=4327, т.к. 43-70+27=0, а 0 делится на 101.
590547:101= 5847, т.к. 59-05+47= 101, а 101 делится на 101.

6, оно должно делиться на 2 и на3, т.е. должно быть четным и сумма цифр числа должно делиться на 3. Действительно, число 10722 делиться на 6, т.к. оно оканчивается четным числом и сумма цифр числа 1+0+7+2+2=12, а 12 делится на 3. 10722:6 =1787.

На 15: 15=3*5. Число делится на 15, если оно делится на 5 и на 3: т.е. должно оканчиваться на 0 или5 и сумма цифр числа должна делиться на3.
Пример: 37545:15=2503, т.к. оканчивается на5 и сумма цифр делиться на3. 3+7+5+4+5=24, а 24 делится на 3.

На 12: 12=3*4. Число делится на 12, если оно делится на 3 и на 4, т.е. сумма цифр числа делится на 3 и последние две цифры образуют число, делящееся на 4.
Пример: 22524:12=1877, т.к. 2+2+5+2+4=15, 15 делится на 3 и последние цифры, образующие число 24 делится на 4.

Признаки делимости на составные числа

если оно делится на 5 и на11, т.е. если оно оканчивается 0 или 5 и если разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах и суммой цифр на четных местах делится на 11.

Пример: 25905:55=471, т.к. оканчивается цифрой 5 и (2+9+5)-(5+0)=11, 11 делится на 11.

Мои открытия

оно четное и если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.

Примеры: 182:14=13, т.к. оно четное и 1*2+82= 84, и 84:14=6
Или 1722:14=123, т.к. оно четное и 17*2+22=56, и 56:14=4

Признак делимости на 63: 63=9*7. Число делится на 63, если оно делится на 9 и на 7, т.е. сумма цифр числа делится на 9 и если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.

Пример: 945:63=15, т.к. 9+4+5=18, 18 делится на 3 и 9*2+45=63, 63 делится на 7.

на 2, 4, 5,10..).

2 группа – делимость чисел определяется по сумме цифр числа (признаки делимости на 3, 9, 7, 37).

3 группа – делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа (признаки делимости на 7, 11,13, 39, 59,79,99, 101…).

4 группа – признаки делимости определяются с использованием нескольких других признаков (признаки делимости на 12, 6, 15,14 и т.д.)

60. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Я рассуждала так. Чтобы число делилось на 15, оно должно делиться на 5 и на 3. Число оканчиваться на 0 не может, т.к. произведение цифр бы тогда равнялось нулю, чего быть не должно. Значит, число оканчивается цифрой 5.
Т.к. число четырехзначное, то осталось найти еще три цифры (стоящие перед 5), которые при умножении дадут 12. Т.к 60:5=12.
Число 12 можно представить в виде произведения следующих трех множителей: 12=1*3*4,
12=1*2*6,
12=2*2*3. Из условия задачи число должно делиться на 15, поэтому выбираю тот вариант, где сумма цифр множителей и числа 5 будет делиться на 3. 1345 не делится на15, т.к. сумма цифр не делится на 3.
1265 тоже не делится на 15,сумма цифр не делится на 3.
2235 делится на 15, т.к. (2+2+3+5) делится на 3 и число оканчивается 5. Первые три цифры числа можно чередовать.
Ответ: 2235 или 2325 или 3225.

Применение признаков делимости

и 6 и делится на 90.

Решение: 90=10*9. Число должно делиться на 10 и на 9. Т.е. оно должно оканчиваться на 0 и сумма цифр числа должно делиться на 9. Значит в записи числа должны быть три 6, т.к 3*6=18, а 18 делится на 9. Возможные варианты ответов: 666000, 600660, 660600, 606060.

число делилось на 12. В ответ укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Решение: 12=3*4. Искомое число должно делиться на 3 и на 4. Значит, сумма цифр числа делится на 3 и последние две цифры образуют число, делящееся на 4. Рассуждая таким образом, можно вычеркнуть последние цифры 5 и 1. Оставшиеся две последние цифры образуют число 48, которое делится на 4. Остается из оставшихся цифр убрать такую, чтобы сумма оставшихся делилась на 3. Это может быть цифра 3. Оставшиеся цифры образуют число 51648, которое делится на 12 (48:4 и 5+1+6+4+8=24, и 24 делится на 3).
Ответ: 51648