Презентация, доклад к исследовательской работе Комплексные числа

Ерочкин Иван

Руководитель:
учитель математики Кадышкина Н.В.

МБОУ « Мордовско-Паёвская СОШ»


Исследовательская работа по теме:

достижения цели


· Освоить действия, производимые с комплексными числами, заданными в различной форме.

· Проанализировать литературу по данному вопросу.

Оценить значение и роль комплексных чисел в повышении интереса математике

учреждений раздела,
изучающего комплексные числа








предполагается, что ознакомление и изучение комплексных чисел
позволит углубить познания во многих разделах
математики, вооружит дополнительным инструментом для
решения различных задач

Проблема:

Рабочая гипотеза:

того, они используются во вполне материальных инженерных расчетах на практике.

Красоту такого раздела математики и хотелось раскрыть этой работой.
 

Актуальность работы

Опрос.

4 .Анализ проделанной работы.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ:

что амфибия с небытиём. Г. Лейбниц    Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств. Л. Карно

Несколько высказываний знаменитых учёных
о комплексных числах:  

“Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение” Ф. Клейн

дроби, иррациональные

числа. При этом каждой точке числовой

обязательно соответствует некоторое

действительное число.

Из истории возникновения комплексных чисел

величины «чисто отрицательными»

 Рене Декарт

В 1637 году французским математиком и философом Р. Декартом было введено название «мнимые числа»

ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

∙

=

г.Л. Эйлер – предложил использовать первую букву французского слова
imaginaire (мнимый) для обозначения числа

i =

Комплексным числом z называется выражение
z = a + b·i , где a и b – действительные числа, i2= -1,
a = Re z –действительная часть z (вещественная)
(Re, от фр. réele – «реальный», «действительный»);

b = Im z мнимая часть z (Im, от фр. imaginaire – «мнимый»).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Алгебраическая форма комплекного числа

свойство:

Z1 +Z2=Z2+Z1, Z1·Z2=Z2·Z1

Сочетательное свойство:

(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3), (Z1·Z2)·Z3=Z1·(Z2·Z3)

Распределительное свойство:

Z1·(Z2+Z3)=Z1·Z2+Z1·Z3

Основные свойства:

= a2 – b2·i равна: z1 + z 2 = ( а1 + а2) +(b1+ b2) · i

2. Разность комплексных чисел z1 = a1 + b1·i  и z2 = a2 – b2·i равна:
z1 - z 2 = ( а1 - а2) +(b1 - b2) · i

3. Произведение комплексных чисел z1 = a1 + b1·i  и z2 = a2 – b2·i равно:
z1 · z 2 = ( а1 · а2 - b1 · b2) +( а2 ·b1 +b2 ·а1) · i

4. Частное комплексных чисел z1 = a1 + b1·i  и z2 = a2 – b2·i равно:

Действия над комплексными числами.

– 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i =
(2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;
б) z1 – z2 = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i =
(2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i
в) z1z2 = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 17i + 15i – 21i2= 
10 –14i + 15i + 21 =
(10+21)+(– 14i+15i)=31+i .
(Здесь учтено, что i2 = – 1).

Примеры

Даны числа: z1 = (2 + 3i) и z2 =(5 – 7i)
Найти: а) z1 + z2; б) z1 – z2; в) z1z2.

<0, и в действительных числах уравнение решения не имеет.
Но корень можно извлечь в комплексных числах!

Получаются два корня:

Таким образом, уравнение 

 имеет два сопряженных комплексных корня: 

, 

 

.

с многочленом «энной» степени 

на плоскости
точкой, имеющей координаты (а; Ь)

Действительные числа изображаются
точками оси абсцисс,
а чисто - мнимые – точками оси ординат.


Комплексное число изображается также
вектором на комплексной плоскости с
началом в точке О и концом в точке М.

Разность комплексных чисел

a = Re z = r ∙ cos φ,
b = Im z = r ∙ sin φ,

,

Тригонометрическая форма комплексного числа.

r

φ = arg z

конечного количества комплексных
чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Теорема 2. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

 


Абрахам де Муавр (1667 – 1754) –
английский математик

, где n – целое положительное число.

ФОРМУЛА МУАВРА

действительного неотрицательного числа,
k – любое целое число.

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа

Для n-ой степени числа z справедливо равенство:

Корень n-ой степени из числа z равен:

функций комплексной переменной находит широкое применение
при решении важных практических задач картографии, электротехники,
теплопроводности.
3.Комплексные числа в настоящее время используют для решения задач,
связанных с самолетостроением и аэромеханикой, а также используются
для расчета различных конструкций на прочность.
4. Русский и советский ученый H. E. Жуковский (1847–1921) успешно применял
теорию функций комплексной переменной к решению важных прикладных
задач. Так, методами этой теории он доказал основную теорему о подъемной
силе крыла самолета
4. С помощью теории функций комплексной переменной H.E. Жуковский
решал задачи, относящиеся к вопросам просачивания воды через плотины.

знакомства с комплексными числами ;
Изучение данного материала формирует умение решать квадратные уравнения, когда дискриминант отрицательный;
Данный материал позволяет решать уравнения высших степеней