Презентация, доклад Интересные свойства чисел

1. Старинные системы записи чисел.
? Глава 2. Числовые диковинки.
? Глава 3. Числовые пирамиды.
? Заключение.

измерений.
Цифры – условные знаки для обозначения цифр.
Считать люди научились еще в незапамятные времена.
Было время, когда человек умел считать только до двух.
Лишь постепенно человек научился считать до трех, затем
до пяти, десяти и т.д.
С развитием производства и торговли счет
распространяется на множества, содержащие все большее
и большее число предметов. Люди в своей практической
деятельности не могли обходиться без измерения
расстояний, площадей, земельных участков, вместимости
сосудов.

и техники счета и правил действия над числами.
С древнейших времен люди интересовались свойствами чисел, выделяли среди них особенные. Некоторые, на первый взгляд обычные числа, записанные всем нам знакомыми цифрами, выделяются из ряда других какими-либо необычайными свойствами. Некоторые из них уже по внешности привлекают внимание, другие открывают свои диковинные особенности лишь при более близком знакомстве.

чисел и изучить разнообразные свойства таких чисел.
Задачи:
показать необходимость введения цифр и чисел;
совершенствование их обозначения от каменного века до наших дней;
рассмотреть историю происхождения арабских цифр и найти преимущества записи чисел арабскими цифрами перед римскими;
исследовать свойства чисел 365, 999, 1001, 10 101, 10 001, 111 111, а также числовые пирамиды, рассмотреть применение этих свойств в устном счете.

многих веков. Совершенствование начертания цифр шло параллельно с развитием письменности. В начале букв не было. Мысли и предметы изображались при помощи рисунков на скалах, на стенах пещер, на камнях.

рыбу и охотились на животных, потребность в счете возникла так же естественно, как и потребность в добывании огня. Об этом свидетельствуют находки археологов на стоянках первобытных людей.

Например, в 1937г. в Вестонице (Моравия) на месте одной из таких стоянок найдена волчья кость с 55 глубокими зарубками. Видно, что, делая эти зарубки, древний охотник считал по пальцам.

более примитивными
способами записи чисел.
Самая простая система записи чисел получила
название единичной, так как любое число в ней
образуется путем повторения одного знака,
символизирующего единицу.
Группировки и вспомогательные значки
Используются лишь для облегчения восприятия больших
чисел.
После того как в языке народа установился способ
называть числа, возникают поиски и создается система
письменного изображения этих чисел.
Система цифр у разных народов на разных ступенях
культурного развития были различны, начиная от зарубок
на деревянных палочках и кончая нашей десятичной
системой символов.

числа:
1, 10, 100 и т.д. - изображались
иероглифами.

Около 3 – 2,5 тыс. лет до н.э. древние египтяне придумали свою числовую систему.

Цифры- длинные знаки на папирусах

и шесть единиц

1 10 102 103 104 105 106 107

Запись:

назван
«Папирусом Райнда»,

другой - «Московским папирусом»

«Московский папирус»

7 8 9 10

1 2 3 4 5

Развитие хозяйственной жизни потребовало более быстрого способа письма.
Возникает иератическое (жреческое) письмо, в котором (картинки) иероглифы заменяются условными знаками.

– десять.

двух знаков (1) и (10), например:

Число 60 записывается тем же значком, что и 1, т.е .

Примеры записи чисел, больших 60:

центральной Америки изображали числа разноцветными узлами или бахромой на шнуре

счисления майя основывается на их астрономических данных .
В году у них содержалось 360 дней, которые делятся на 18 месяцев, по 20 дней в каждом.

в соответствии с числом дней в месяце, в 20 раз больше, т.е. двадцатки.
Единицей третьего разряда являются (18 ·20=)360 в соответствии с числом дней в году.
Отсутствие разряда указывалось специальным знаком , появившимся около 500 до н.э., в роде изображения глаза (наш нуль).

у разных народов, только одна используется до сих пор.
Ее цифры встречаются на циферблатах часов, фронтонах старинных и современных зданий. Речь идет о римской системе записи чисел.

D M
1 5 10 50 100 500 1000

Некоторые из этих знаков служили и буквами.

Потребности практики, развитие производства и торговли способствовали созданию болеем удобных, современных цифр и образованию современной письменной нумерации
Вам известны римские цифры:

Запись числа 38784:

пишут: для числа 9 вместо VIIII знак IV,
вместо XXXX знак XL и т.д.

Обозначение чисел римскими цифрами

и деление в письменном виде производить невозможно.
Все действия надо производить в уме.
При прочтении числа необходимо складывать или вычитать, потому что каждая из семи римских цифр означает всюду, где бы она ни стояла, одно и то же число.

Например: V означает пять единиц, как в числе IV, так и в числеVI.

ее место, ее положение, ее позиция среди других цифр имеет значение.
Например: В числе 15 цифра 5 означает пять единиц, а в числе 53 та же самая цифра означает пять десятков, т.е пятьдесят единиц. Отсюда нашу нумерацию называют позиционной.

Она, как и современные цифры, возникла примерно 1500 лет назад в Индии. В течение многих столетий, переходя от народа к народу, старинные индийские цифры много раз изменялись, пока приняли современную форму.

древности широко применялись системы, в которых числа
изображались буквами алфавита.

Именно такой была греческая алфавитная нумерация (ионическая).
В III в до н.э. она сменила аттическую.

Вместе с христианством и письменностью эта нумерация пришла к славянам.

– легион,

десять легионов – леодр,

десять леодров – ворон,

десять воронов – колода

Западную Европу. О ней подробно рассказывает среднеазиатский математик аль-Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания сколь угодно

больших чисел, записанных в десятичной системе, сделали ее особенно популярной.
А поскольку труд аль-Хорезми был написан на общем для мусульманского мира языке – арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название – «арабская»

аль-Хорезми

существ, встречаются подлинные диковинки, редкие экземпляры, обладающие исключительными свойствами.

Из таких необыкновенных чисел можно было бы составить своего рода музей числовых редкостей

делении на 7 оно дает в остатке 1;  эта несущественная, казалось бы, особенность числа 365 имела большое значение для старого семидневного календаря.

Другая особенность числа365:
365=10*10+11*11+12*12  т.е. 365 равно сумме квадратов трех последовательных чисел, начиная c 10.

Сумма квадратов двух следующих чисел 13 и 14 тоже равна 365.
13*13+14*14=169+196=365

Число  365

 

Число  999

Зная эту особенность, можно мгновенно умножать трехзначное число на 999.

947◾999 = 946 053;
509◾999 = 508 491
и т.п.

Замечательно то, что при умножении на него трехзначного числа получается результат, состоящий из самого умножаемого числа, только написанного дважды,
например: 873◾1001=873 873
Это свойство объясняется следующим: 873◾1001=873 ◾1000+873=873 000+873
1001=103+13;

Число  1001

(1001=91∙11) или 143 семерок (1001=7∙143).
Если будем считать, что год равен 52 неделям, то:

На свойствах числа 1001 основан метод определения делимости числа на 7, 11 и на 13.
348 285 = 348∙1000+285=348∙1000+(348-348)+285= = 348∙1001-(348-285).

Так как 1001 делится на 7, то чтобы число 348325 делилось на 7, достаточно, чтобы разность 348-285=63 делилась на 7.

при умножении, но не трехзначных чисел, а двузначных.
Каждое двузначное число, умноженное на 10 101, дает в результате само себя, написанное трижды, например:
73◾10 101=737 373
Это свойство объясняется следующим:

Числа  10 101 и 10 001

только двух простых чисел: 10 001=73◾137.

Каждое четырехзначное число, умноженное на 10 001, дает в результате само себя, написанное дважды, например:
3456◾10 001=34 563 456,так как:

Если же умножаем трехзначное число на 10 001, то в результате получим число, записанное дважды, но между этими двумя записями стоит 0, например: 345◾10 001=3 450 345

красивые разложения на множители. Их можно записать в виде некоторого подобия пирамид, составленных из чисел.

Иногда для записи чисел-множителей используются те же цифры, что и для записи произведения...

11
12 х 9 + 3 = 111
123 х 9 + 4 = 1111
1234 х 9 + 5 = 11111
12345 х 9 + 6 = 111111
123456 х 9 + 7 = 1111111
1234567 х 9 + 8 = 11111111
12345678 х 9 + 9 = 111111111

Чтобы постичь данную числовую закономерность рассмотрим какой-нибудь из средних рядов нашей числовой пирамиды:
123456 х 9 + 7

нужно:
из второй его цифры вычесть 1,
из третьей – 2,
из четвертой – 3,
из пятой – 4 и т.д. Иначе говоря, вычесть из него то же число вида 12 345…, укороченное на свою последнюю цифру.

= 9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

Особенно интересна в пирамиде последняя строка, где в результате умножения на 8 и прибавления 9 происходит превращение цифр в такой же ряд, но записанных в обратном порядке: 123456789 х 8 + 9 = 987654321

что 12345 х 9 + 6 дает число 111 111
То есть 12345 х 8 + 5 = 111 111 – 12 346= 98765

88
98 х 9 + 6 = 888
987 х 9 + 5 = 8888
9876 х 9 + 4 = 88888
98765 х 9 + 3 = 888888
987654 х 9 + 2 = 8888888
9876543 х 9 + 1 = 88888888
98765432 х 9 + 0 = 888888888

Эта пирамида является следствием первых двух.

+ 6 = 111111.
Умножив обе части на 8, получим:

(12 345 х 8 х 9) +(6 х 8) = 888 888.

Из второй пирамиды известно, что
12 345 х 8 + 5 = 98 765,
12 345 х 8 = 98 760,
Значит:
(12 345х8х9) +(6 х 8) = (98 760х9)+48=
= (98 760х9)+(5 х 9)+3= (98 760+5)х9+3=
=98 765х9+3

системы записи чисел: десятичная, недесятичные, позиционные, так и непозиционные. Как бы велико ни было число, его можно записать с помощью всего лишь десяти цифр: 0,1,2,4,…, 9. Цифр, как и правил арифметики, никто сразу не выдумал, не изобрел. Современные цифры были выработаны на протяжении многих веков. Великим открытием было появление позиционной системы, когда одна и та же цифра может обозначать число единиц, десятков, сотен и т.д в зависимости от того, какое место в записи числа оно занимает.

формы записи чисел, выявили особенности записи чисел у разных народов;

Были выявлены частные свойства чисел: 365, 1001, 10 101, 10 001, а также рассмотрено применение этих свойств в устном счете;

Мы рассмотрели числовые пирамиды и выявили закономерности их построения;

Рассмотрели особенности десятичной системы, выявили ее преимущества над другими системами (недесятичными).

В ходе проделанной работы: