Презентация, доклад на тему Ошибки в порядке выполнения арифметических действий и пути их предупреждения

Ксения

выражениях в конце третьей и начале четвертой четверти, когда материал уже хорошо изучен, в двенадцати вторых классах Ленинграда (415 учащихся) было проведено несколько самостоятельных работ. Приведем примеры включенных в работы выражений: выражения без скобок, содержащие действия одной ступени: 70:5·2, 100 – 50 – 25+25; выражения без скобок, содержащие действия разных ступеней: 96 – 24+12:6, 100 – 60:4, 32+64:16·2; выражения, содержащие скобки: 3·(20+4), 60:(20 – 5)·2, 90 - (36+ + 14):10.

выполнения действий, выражения составлены так, что вычисления в них можно производить как в правильном, так и в неправильном порядке, и отклонения от правильного порядка приводят к неверному результату. Например, вычисляя значение выражения 32+64:16 • 2, можно получить результаты: 3, 12, 34, 40. Структура использованных выражений была разной по набору и количеству действий (70:5·2, 80 – 43+17, 90 – 48+12:6), по расположению действий и скобок (78 – 24 + 12:6, 100 – 20: (10 – 6), 100 – (44 – 24):4).

– 24 + 12 : 6 = 52
2 1
80 – 43 + 17 = 20
2 1 70 : 5 · 2 = 7
3 1 2
60 : (20 – 5) · 2 = 2

учащимися соответствующих правил порядка выполнения действий. Дети помнят начало формулировки, в которой сложение названо раньше вычитания, а умножение — раньше деления, и не обращают внимания на конец правила, подчеркивающий, что эти действия надо выполнять в порядке их записи. Другая причина этих ошибок — ориентировка учащихся не на правила, а на возможность выполнения действий — делают то, что делается.

действия его положение в записи выражения влияет на выбор второго действия. Например, в выражении 48–24:6+2, в котором сложение и вычитание расположены одинаково близко к первому действию — делению, ошиблись в выборе второго действия 31 % учащихся, а в другом выражении с таким же набором действий — 78 – 24 + 12 : 6, в котором к делению ближе расположено сложение, такую ошибку допустили 50 % учащихся.

в 2,3 раза больше в выборе второго действия, чем в выборе первого, для которого нет предыдущих действий, а следовательно, и влияния их расположения. Поэтому в выражениях в три действия учащиеся чаще допускают ошибки в порядке выполнения действий, чем в выражениях в два действия, в которых выбирать надо только одно действие (к тому же первое) и к которым можно применить только какое-то одно правило порядка выполнения действий. В этом проявляется влияние количества действий в выражении на правильность определения порядка вычислений. Например, при вычислении значения выражения 90 – 48+12:6 ошибок значительно больше, чем при вычислении значения выражения 80 – 43+17.

всего два действия, ошибок в порядке выполнения действий нет. Напротив, в выражениях в три действия со скобками ошибок много — 74 % учащихся выполняли действия вне скобок по порядку их записи — слева направо. Например:
2 1 3
100 – (44 – 24) : 4 = 20
2 3 1
60 – 20 : (20 – 16) = 10

понятно, что если числа в выражении не позволяют производить вычисления в неверной последовательности (например, 55 – 64 : 4 – 27), то ошибки в порядке выполнения действий в таких выражениях встречаются редко. Причем если и встречаются, то вместе с вычислительными ошибками, когда учащиеся из меньшего вычитают большее или делят то, что не делится (без остатка). Например:
2 1 3
46 + 3·12 : 4 = 82 : 4 = 21

разный порядок выполнения действий и не «наталкивает» на какой-либо один из них, то в работах встречаются все возможные варианты. Например, 25 % учащихся ошиблись в порядке выполнения действий в выражении 32 + 64 : 16 · 2. При этом ими были использованы следующие последовательности вычислений: а) деление, сложение, умножение; б) умножение, деление, сложение; в) сложение, умножение, деление; г) сложение, деление, умножение.

хорошо видно из сопоставления результатов двух самостоятельных работ:
Работа 1 Работа 2
Вычислите: Вычислите:
23 – 85:17+22 78 – 52:13+13
46+3·12:4 32+64:16 · 2
28+37 – 72:6 96 – 24+12:6

содержания показывает, что у учащихся при выполнении этой работы мало возможностей ошибиться в выборе порядка выполнения действий. Так, в выражении 23–85:17+22 числовой материал не позволяет выполнять действия в неверном порядке. В двух других выражениях 46+3·12:4 и 28+37 – 72:6 можно деление выполнить раньше умножения или вычитание раньше сложения, но такое нарушение правил не сказывается на окончательном результате, поэтому нельзя определить, в каком порядке выполнял действия ученик.

вычислений такой же, но включив числовой материал, позволяющий выполнять действия в любом порядке, и в двух последних выражениях поменяли местами умножение и деление, сложение и вычитание. В результате таких небольших преобразований во второй работе в порядке выполнения действий ошиблись 76 % учащихся против 6 % в первой работе.

всячески подчеркивать равноправие действий одной ступени.
Однако уточнение формулировок правил порядка выполнения действий лишь первый шаг в совершенствовании работы над их усвоением. Как известно, центральная роль в процессе формирования знаний и умений принадлежит системе упражнений. Прежде чем говорить о возможных видах упражнений, рассмотрим, какие выражения желательно включать в них.

что иногда служит основой неверных обобщений, а следовательно, причиной ошибок. Частое использование выражений вида а·b±c·d, a:b±c:d, a·b±c:d, a:b±c·d привело к тому, что некоторые учащиеся вывели свое правило вычислений — «сначала по краям, затем по середине» и стали применять его к выражениям в три действия. Например:
1 3 2
48 – 24 : 6 + 2 = 3
1 3 2
32 + 64 : 16 · 2 = 3

постепенное усложнение деятельности учащихся. Сначала даны упражнения, для выполнения которых надо просто вычислить значение выражений. Дальше идет выбор выражений по их структурной характеристике, потом — сопоставление выражений и порядка выполнения действий в них, анализ ошибок. Более сложным является изменение выражений и порядка выполнения действий, дополнение выражений и, наконец, конструирование выражений с учетом одного или нескольких условий. Эти упражнения были апробированы в школах Ленинграда: № 206 (учитель Е. Н. Свердлова), № 320 (учитель Г. Н. Станиславская) и др. Они вызывали у учащихся заинтересованность и дали положительные результаты. Приведем некоторые упражнения.

из чисел 90, 74, 70, 14.
б) Выберите выражения, значения которых равны
80 : 20 + 20 · 2,
84 – 12 + 48 : 6,
95 – 10 + 5,
5 + 90 : 6 · 5.

вторым действием:
a) □+□·□ в) □ + □·□ + □
б)□ · □ + (□ + □) г) □ + (□ - □)·□
д)□:□·□:□ ж)□:□ + □·□
е) □ : (□ + □)·□ з) □ : □· □

сложение надо выполнить:
а) первым, б) вторым, в) третьим действием:
4·17+3 90 – 52 + 18 70 – (10+15)·2
37+26 – 16 15+45:(15 – 12) 60:15+5· 3
24 + 6·3 (30+70) :25·2 40+60:5·2

2 3 1
100 – 20: (20 – 10) = 8
2 1
70:14·5=1
3 1 2
90 – 36 : 18+18 = 70
1 3 2 90 – 15+15 : 3 = 80
3 2 1
30 + 60 : 15·2 = 32
2 1 3 90 – (35 – 5) : 6 = 10

выражения:
12+48:4·3
(12+48):4·3
12+48:(4·3)

– 27 – 12+6, б) 78—18:3 – 2.
Например: а) 76 – (27 – 12) + 6 = 67,
76 – 27 – (12 + 6) = 31;
б) (78 – 18) : 3·2, 78 – 18:(3·2) = 75.

4 : 2 = 8
24 – 16:4:2=1
24 – 16:4:2=16
Например: (24 – 16):4:2=1,
24 – 16:(4:2) = 16.

или снятия скобок измените порядок выполнения действий так, чтобы выражения имели указанные значения:
а) 72:12:2·3=36, б) 72:12: (2- 3) = 9,
в) 72:12:(2·3) = 1.
Например: а) 72:(12:2)·3=36,
б) 72:12: :2·3=9, в) ничего менять не надо.

и вычислите их значения:
48□12□4
Например: 48+12 · 4=96, (48 + 12):4= 15, 48:12:4=1, 48:(12 – 4) = 6.

выражение имело указанное значение: 45□ 15□3 = 90.
Например:45+15·3 = 90, (45 – 15)·3 = 90.

выражений:
36+6:3
Например: 36:6:3=2, 36 – 6:3=54, 36+6 – 3 = 39 и т. п.

другой порядок выполнения действий: 64+16·2. Вычислите значение каждого выражения.
Например: 64+16·2 = 96, а) 64:16·2 = 8, б) 64+16 – 2 = 78.

указанные действия. Вычислите значения получившихся выражений:
а) □ – □ · □
б) □ + □ – □+□
в) □:□ + □
г) □ – □· □ + □
Например: а) 56 – 6 · 8, б) 58+12 – 23+ 27, в) 72:6+2, г) 24 – 4 · 3+4.

надо выполнять: а) первым, б) вторым, в) третьим действием.
Например: а) 64: 8 · 2, □ – □:□, □· (□:□);
б) □:(□· □), (60 – 48) : 3, □· □:□ + □;
в) □· (□ – □):□, □·□:(□ + □),15×2·3:5.

в которых:
а) вычитание записано в выражении вторым действием, а выполнять его надо первым;
б) вычитание записано в выражении первым действием, а выполнять его надо третьим;
в) сложение записано в выражении вторым действием, а выполнять его надо первым, и умножение записано третьим, а выполнять его надо вторым.
Вычислите значения составленных выражений.
Например: a) □ · (□ – □) + □,
б) □ – □· □:□, в)□ – (□ + □)· □.