Презентация, доклад на тему Методические основы решения задач нестандартным методом

11 класса)

Учитель Жулепова Н.М.

новых адекватных времени форм преподавания. Неизбежным в сложившейся ситуации является внедрение перспективных информационных технологий в структуру учебного процесса. Информационные технологии обучения с применением принципиально новых средств и методов обработки и представления данных, позволяют рационально организовать процесс обучения и, в сочетании с традиционной формой обучения, направлены на повышение темпа занятия и объема изучаемого материала. Все вышеперечисленные причины обосновывают целесообразность проведения предложенного ниже занятия с использованием Power Point презентации.

замены переменной может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать некоторые свойства функций f(x) и g(x).
Так, если одна из функций убывает, а другая возрастает на промежутке Х, то уравнение f(x)=g(x) либо имеет один корень и тогда можно найти его хотя бы подбором, либо не имеет корней.

возводить обе части уравнения в квадрат. Достаточно заметить, что х = 3 – корень уравнения и других корней нет, поскольку левая часть уравнения – убывающая, а правая – возрастающая функции.

. Здесь при х = -2 левая и правая части равны, но поскольку левая часть – возрастающая, а правая – убывающая функция, то неравенству удовлетворяют значения х, которые меньше -2. С учетом области определения получаем ответ: -18 ≤ х < -2.

Если, далее, функция f(x) на промежутке Х ограничена сверху, причем , а функция g(x) ограничена снизу, причем , то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений

f(x), у = g(x) и определить абсциссы точек их пересечения. Используются и другие неэлементарные приемы решения уравнений и неравенств, иногда с привлечением производных. Обо всем этом и идет речь в данной статье. Рассмотрим решение некоторых уравнений .

. Решение. Построив графики функций

находим два корня уравнения:

х = 2. Так как в области определения уравнения, т.е. на отрезке [1;3], функция возрастает, а функция убывает, то других корней уравнение не имеет. Итак, х = 2 единственный корень уравнения.

,и заданное уравнение можно переписать в виде
откуда Это уравнение имеет очевидный корень t = 2, но утверждать, как в предыдущем примере, что это единственный корень уравнения, мы не можем, ибо как левая, так и правая часть уравнения - возрастающая функция. Но если обе части уравнения разделить почленно на , то получим:

уравнения, т.е. показательная функция ,
возрастает. Значит, t = 2 – единственный корень уравнения. Поскольку , то из уравнения находим х = 9 – единственный корень уравнения.

Выполнив преобразования,

получим . Замечаем, что это уравнение имеет корень х = 7. Докажем, что других корней нет.
Функция убывает. Если окажется, что функция возрастает в области определения заданного уравнения, т.е. на луче [5,3;+∞), то можно сделать вывод о том, что х = 7 единственный корень уравнения. Найдем производную функции .

, т.е. функция

возрастает на луче [5,3;+∞). Что и требовалось установить.
Итак, х = 7 – единственный корень.

уравнения. Но, как и в примере 4 утверждать, что это единственный корень уравнения, мы пока не можем, поскольку и функция , и функция возрастают в области определения уравнения (2), т.е. на луче . Если в примере 3 нам удалось преобразовать уравнение к такому виду, что одна часть представляла собой убывающую, а другая возрастающую функцию, то здесь нам этого не удается. Поступим по другому.

1 (в точке пересечения графиков этих функций). Имеем


Т.к. , то графики функций и имеют общую касательную в точке (1;1). Но поскольку функция выпукла вниз, а функция выпукла вверх, то их графики расположены по разные стороны от общей касательной, а потому уравнение имеет только один корень. Итак, х = 1 – единственный корень уравнения.

толкований. Здесь к нестандартным мы относим уравнения и неравенства с двумя, тремя переменными, а также системы уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных. Разумеется, не всякое уравнение с двумя переменными можно отнести к нестандартным, например уравнение х + у = 5, имеющее своими решениями любые пары чисел, которые в сумме дают 5. Это уравнение настолько же просто, насколько неопределенно (бесконечное множество решений). Мы будем нестандартным считать такое уравнение с двумя, тремя переменными, которое после более или менее оригинальных рассуждений и преобразований приводится к вполне определенным решениям.

уравнения

Значит, заданное уравнение можно переписать в виде

Но сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Значит, х = 3, а , т.е. у = 4.
Ответ: (3;4).

квадрата, получим


Рассуждая, как в предыдущем примере, приходим к системе
тригонометрических уравнений

Положив , получим систему

Для первого уравнения совокупности, имеем

функций и .

Тогда
Ответ: {3;9}

геометрического трёх неотрицательных чисел

причем равенство выполняется, если а=b=c.
Итак, введём обозначение


Но, по условию задачи, среднее геометрическое
значит, уравнение возможно, если (т.к. а=b=c)

или
Ответ:

Т.к. , то множество значений этой суммы является промежуток тогда
следовательно вся дробь

Если мы прологарифмируем выражение по основанию то
, т.е.
В этом отрезке содержится пять целых чисел.
Ответ: 5.

[a] обозначает целую часть числа а.
Ответ:

3. Решите уравнение
Ответ: 1.

{-2; 1}