Треугольник с горизонтальной чертой считается пассивным и означает воздух, умеренный огонь, соответствующий синему цвету.
Перевернутый треугольник означает чашу, готовую принять воду; мудрость, порождающую главную идею; зеленый цвет.
Треугольник воздуха с горизонтальной чертой символизирует Землю, неподвижную стоячую воду и соответствует черному цвету.
Треугольник в сочетании с крестом образует алхимический знак Серы.
Равносторонний треугольник, символизирующий, по древнееврейской традиции, совершенство, у христиан означает Троицу - Отца, Сына и Святого Духа.
Начало
Виды треугольников
а)
б)
в)
Начало
Пусть Р – любая точка внутри данного треугольника АВС, и пусть перпендикуляры, опущенные из точки Р на стороны ВС, СА, АВ треугольника, будут РА1, РВ1 и РС1. треугольник А1В1С1, вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным треугольником треугольника АВС для «педальной точки» Р.
Педальный треугольник
Доказательство.
Так как подобен , то AD:BD=PD:AD,
и AD=DC.
Теорема 1. Если точка Брокара Р есть точка пересечения медиан, то треугольник АВС правильный.
BD=DC∙√3 и BD2 = DC2. 3.
Теорема 2. Если точка Брокара Р является пересечением медианы СМ с биссектрисой АЕ, то треугольник правильный.
Но тогда отрезок СМ в треугольнике АВС также служит высотой и медианой, а значит и биссектрисой, следовательно, точка Р – пересечение биссектрис, и треугольник АВС правильный.
Доказательство.
Из подобия треугольников МВР и МСВ следует, что МВ:МС=МР:МВ или МВ2=МС.МР, но по условию МВ=МА, тогда МА2=МС.МР и МА:МС=МР:МА.
Теорема 3. Если точка Брокара Р является точкой пересечения медианы СМ с высотой ВD, то треугольник АВС правильный.
Доказательство.
Так как Р – точка Брокара, то и (СМ является биссектрисой в треугольнике АВС). Отсюда следует, что
в треугольнике АРС стороны АР и РС равны.
Теорема 4. Если точка Брокара Р является точкой пересечения биссектрисы СМ с высотой BD, то треугольник АВС правильный.
Начало
Практическая часть
Прямая, содержащая эти основания, известна как прямая Симсона данной точки относительно данного треугольника. Прямая Симсона приписывалась ему, поскольку она казалась типичной для его геометрических идей. Однако историки тщетно пытались найти ее в его работах. В действительности она была открыта в 1797 году Вильямом Уоллесом.
Имеем: .
2) Если из точки L внутри треугольника опущены перпендикуляры соответственно на стороны а, b, с треугольника, то .
la, lb, lc,
Дано: треугольник АВС, а, b, с – стороны треугольника АВС, – педальная точка, la, lb, lc – перпендикуляры от L, ha, hb, hc – высоты треугольника АВС.
Доказать:
Треугольник АВС разобьется на три треугольника. Назовем площади этих треугольников Sa, Sb, Sc.
Дано: треугольник АВС, OL, OM, ON - перпендикуляры.
Доказать: AL2+BM2+CN2=LB2+MC2=AN2
Дано: АВС, Р – педальная точка.
Доказать: подобен
4) Третий педальный треугольник подобен исходному.
Пусть М- точка пересечения прямых n, т.е. прямых, делящих стороны треугольника пропорционально n-м степеням прилежащих сторон, и А1С1В1– медальный треугольник точки М .
По определению медиан: АК=КС, следовательно:
АК/ КС=с0/а0,…
т.е. n = 1. Тогда
SА1В1С1= 4S3 *(1/bc + 1/ca + 1/ab)/ (a + b +c)2 =4S3 *(a + b + c)/2р*a* b* c=
= 2 S3 *р/ р2*a* b* c=2 S3/ р*a* b* c= 4S2*r/2a* b* c= S*r/2R.
Задача решена.
Таким образом, n=2. Тогда
SА1В1С1=4S3 *3/ (a2 + b2 + c2)2= 12 S3/ (a2 + b2 + c2)2.
Задача решена.
Начало
Задача 2
Расстояния от точки треугольника, взятой внутри равностороннего треугольника АВС, до сторон АВ, ВС, АС равны соответственно 1,7 см, 2,8 см, 1,5 см. Найти площадь этого треугольника.
Задача 3
Перпендикуляры, опущенные из точки О, взятой внутри треугольника АВС, определяют на сторонах треугольника точки L, M, N так, что , причем . Известно, что АВ=9, АС=12. Найдите сторону ВС.
Задача 4
Найти площадь педального треугольника точки Брокара, если стороны треугольника равны 4, 7 и 5 см.
Задача 6
В треугольнике АВС
и точка Брокара Р лежит на высоте CD.
Найдите отношение :
Начало
педальным
равносторонним
равнобедренным
разносторонним
Точка пересечения
медиан треугольника
центр окружности
главная точка
Между собой
1
R
Начало
Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.
Email: Нажмите что бы посмотреть