Презентация, доклад на тему Теорема о трёх перпендикулярах

Теорема о трех перпендикулярах.

Актуализация опорных знаний

Угол между прямыми равен 90 ⁰. Как называются такие прямые?
Верно ли утверждение: «Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости»?
Что можно сказать о двух прямых, перпендикулярных к одной плоскости?
Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, ….
Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости?
Как определить расстояние от точки до плоскости?

Перпендикуляр к плоскости, наклонная, проекция наклонной на плоскость

Рассмотрим плоскость α и точку А
Отрезок АН называется
перпендикуляром, проведенным
из точки А к плоскости α.
Точка Н – основание
перпендикуляра.

Отрезок АМ – наклонная, прове-
денная из точки А к плоскости α.
Точка М – основание наклонной.

Отрезок НМ – проекция наклонной на плоскость α.

А

Н

М

α

Расстоянием от точки А до
плоскости называется
длина перпендикуляра,
проведенного из точки А
к плоскости α.

А

В

С

D

H

L

P

K

F

Z

α

Расстояние от точки А до плоскости

Расстоянием между параллельными
плоскостями
называется расстояние
от произвольной точки
одной из параллельных
плоскостей до
другой плоскости.

Все точки прямой а равноудалены от плоскости α

А

В

А о

Во

α

а

Расстояние между параллельными плоскостями

А

А1

М

b

a

a1

α

Расстоянием между
прямой и плоскостью
называется расстояние
от произвольной точки прямой
до плоскости.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из них и плоскостью, проходящей через другую прямую, параллельно первой прямой

α‌‌ || ‌‌β, а ∈ β, а и b – скрещивающиеся,
АВ ⊥ α, А ∈ а, b ∈ α.



Длина отрезка АВ –
расстояние между:
а) плоскостями α и β ;
б) прямой а и плоскостью α ;
в) прямыми а и b .

А

В

а

b

α

β

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

Дано: АН ⊥ α, АМ – наклонная к
плоскости α, НМ – проекция наклонной,
а ∈ α, а ⊥ НМ.
Доказать: а ⊥ АМ.
Доказательство: Т.к. АН ⊥ α,
то АН ⊥ а ⇒ а ⊥ β ⇒ а ⊥ АМ.
Три перпендикуляра: AH, НМ, АМ

А

Н

М

а

α

β

Решение задач. Задача 1

Через вершину А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная к плоскости треугольника.
а) Докажите: что ∆CBD прямоугольный.
б) Найдите BD, если ВС = а, DC = b.
Дано: ∆ АВС, ∠С = 90 ⁰, AD ⊥ (ABC),
ВС = а, DC = b.
Решение :а) АС проекция наклонной DC
на плоскость ∆АВС. ВС⊥АС ( по усл.) ⇒
ВС ⊥ DС, значит, ∆ CBD – прямоугольный;
б) Из ∆ВСD ∠С = 90⁰ .
По теореме Пифагора BD = ВС + CD
ВD = а + b

А

В

С

D

b

2

2

2

2

a

Решение задач

Задача 2.
Дано: ∠ А =30°,
∠АВС = 60°.
ВD ⊥ (АВС)
Доказать: СD ⊥ АC