Презентация, доклад на тему Призентация на тему: Признаки равенства треугольников

является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и BDC.

Рассмотрим треугольники COB и AOD. Они имеют равные стороны: CO=OD, AO=OB – по условию. Угол COB равен углу AOD (вертикальные). Таким образом, треугольники COB и AOD равны по первому признаку. Тогда CB=AD.

Рассмотрим треугольники COA и BOD. Они имеют равные стороны: CO=OD, AO=OB – по условию. Угол COA равен углу BOD (вертикальные). Таким образом, треугольники COA и BOD равны по первому признаку. Тогда CA=BD.

Треугольники ACD и BDC имеют общую сторону – CD. Таким образом, они равны по третьему признаку, ч.т.д.

  АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ∠А = ∠А₁.Доказать: ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.Доказательство:Наложим треугольники друг на друга так, чтобы угол А совпал с углом А₁.Тогда совпадут и лучи АВ с А₁В₁  и АС с А₁С₁.Так как АВ = А₁В₁, точки В и В₁ совпадут.Так как АС = А₁С₁, точки С  и С₁ тоже совпадут.Через две точки можно провести единственную прямую, поэтому совпадут и отрезки ВС и В₁С₁.Так как треугольники совпали при наложении - они равны.При доказательстве признака использована аксиома: через любые две точки можно провести единственную

∠А = ∠А₁, ∠С = ∠С₁Доказать:            ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.Доказательство:Наложим треугольники друг на друга равными сторонами так, чтобы вершины В и В₁ оказались по одну сторону от прямой АС.Равные стороны совпадут, совпадут и углы, прилежащие к ним. Значит, совпадут и вершины В и В₁. 

чтобы вершина AA совместилась с вершиной AA, сторона ABAB – с равной ей стороной A1B1A1B1, а вершины CC и C1C1 оказались по одну сторону от прямой A1B1A1B1.
Так как ∠A=∠A1∠A=∠A1 и ∠B=∠B1∠B=∠B1, то по сторона ACAC наложится на луч A1C1A1C1, а сторона BCBC – на луч B1C1B1C1.
Поэтому вершина CC – общая точка сторон ACAC и BCBC – окажется как лежащей на луче A1C1A1C1, так и на луче B1C1B1C1 и, следовательно, совместиться с общей точкой этих лучей – вершиной C1C1.
Значит, совместятся стороны ACAC и A1C1A1C1, BCBC и B1C1B1C1.
Итак треугольники ABCABC и A1B1C1A1B1C1 полностью совместятся.
Следовательно, они равны.

что ΔАВС =ΔA1B1C1. Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A1, вершина В — с вершиной В1, а вершины С и С1, оказались по разные стороны от прямой А1В1. Рассмотрим 3 случая: 1) Луч С1С про­ходит внутри угла А1С1В1. Так как по условию теоремы стороны АС и A1C1, ВС и В1С1 равны, то треугольники A1C1C и В1С1С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A1C1B1. 2) Луч С1С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC1. AC=A1C1, BC=B1C1, ∆C1BC – равнобедренный, ∠ACB=∠A1C1B1. 3) Луч C1C проходит вне угла А1С1В1. AC=A1C1, BC=B1C1, значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A1C1B1. Итак, AC=A1C1, BC=B1C1, ∠C=∠C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников. -

чтобы вершина AA совместилась с вершиной A1A1, вершина BB – C вершиной B1B1, а вершины CC и C1C1 оказались по разные стороны от прямой A1B1A1B1.
Возможны три случая:
луч C1CC1C проходит внутри угла A1C1B1A1C1B1
луч C1CC1C совпадает с одной из сторон этого угла
луч C1CC1C проходит вне угла A1C1B1A1C1B1.