Презентация, доклад задач по планиметрии второй части профильного ЕГЭ (С4)

11
Задача 12Задача 12 Задача 12 (теорема)
Задача 13
Задача 14
Задача15

все медианы в этом треугольнике.

Р е ш е н и е. Поскольку медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, медиана CM равна .
Пусть K– середина BC.Тогда CK= BC= AB*cosα= *c*cos α.По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ACK находим, что
AK= = =

= = =

=

Аналогично находим медиану BN.

. Найдите отношение .

Р е ш е н и е. На продолжении медианы BM за точку M отложим отрезок MD, равный BM. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD делятся точкой пересечения M пополам, значит, ABCD – параллелограмм.
Поэтому AB=BC и ∠ADB= ∠CBM.
По теореме синусов из треугольника ABD находим, что



Следовательно,

под углом 60˚,а их длины относятся как 1:3. Чему равна меньшая диагональ четырёхугольника ABCD, если большая равна .

Р е ш е н и е. Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, стороны которого параллельны диагоналям четырёхугольника и соответственно равны их половинам.
Обозначим через x и 3x половины диагоналей параллелограмма. Поскольку угол между ними равен 60˚, то по теореме косинусов квадраты сторон параллелограмма равны
x²+9x²-3x²=7x² , x²+9x²+3x²=13x²
Поскольку большая диагональ четырёхугольника равна , большая сторона параллелограмма равна ,
т. е. 13х²= , откуда x= . Тогда
меньшая сторона параллелограмма

равна . Следовательно, меньшая диагональ данного четырёхугольника равна

сторонами З и 4.

Р е ш е н и е. Через вершину С меньшего основания ВС трапеции АВСD (ВC=13, АD=18, АВ=4, СD=3) проведём прямую, параллельную боковой стороне АВ, до пересечения с основанием АD в точке К.
Тогда
СК=АВ=4,
DK=АD - АК=АD - ВС=18 - 13=5, СD=З.
Треугольник КСD прямоугольный, так как КD²=СD²+СК². Его высота, опущенная на гипотенузу,
равна .
Следовательно, SABCD

ними ра 60°. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из верши этого угла.

Решение. Пусть АD — биссектриса треугольника АВС, в котором АВ =6, АС =3, ∠ВАС=60°.
Первый способ. Обозначим AD=x. Тогда

SABC=

SABC=SABC+SACD=

=

Из уравнения находим, что x=2

Второй способ. Заметим, что треугольник АВС прямоугольный. Тогда треугольник ACD также прямоугольный, причём САD =30°. Следовательно,
AD=AC:cos∠CAD=3:cos30°=2

соответственно BC и CD параллелограмма ABCD. Отрезки AM и BN пересекаются в точке O. Найдите отношение .

BM=MC=a.Тогда BC=AD=2a.
2. DNE= CNB по двум углам и стороне между ними
а) CN=ND (по условию)
б) CNB= DNE (как вертикальные)
в) EDN= BCN (как соответственные)
=> DE=BC=2a.

3. AE=AD+DE=4a.

4. BOM ~ EOA (по 3 углам)

5. = = =

B a M a C

O


N

A 2a D

и пересекаются в точке F. Известно, что площадь треугольника DEF равна 5. Найдите площадь треугольника ABC.

=> AF=FD
2) AFE= DFE (по углу и двум сторонам)
=> = = 5
3) BC = 2BD = 2BA, тогда

= = 2 (по св-ву биссектрисы)

4) = 2 = 4 =20
5) = +
= 10 + 20 = 30

6) = = 1 =>


= = 30

7) = 60

O и радиусом R, проведены касательные MA и MB (A и B – точки касания). Прямые OA и MB пересекаются в точке C. Найдите OC, если известно, что отрезок OM делит окружность пополам.

OM = 2OK = 2R
2) В OAM ( MAO= ) катет OA меньше гипотенузы в 2 раза OM => AMO =
3) AMC= (т.к. MO – биссектриса AMC)
4) Из MAC ( MAC= ) :
ACM = =>
COM – равнобедренный
=> OM= MO= 2R

∆

∆

∆

касаются внешним образом в точке C. Прямая касается этих окружностей в различных точках A и B соответственно. Найдите угол A B, если известно, что
tg ABC = .

прямую AB в точке M => MA=MC=MB =>
ABC = 90
3) Опустим перпендикуляр H на её хорду CB, тогда CH=HB
4) т.к. tg ABC = = , тогда

AC= BC = BH

5) B H = 90 - BH= ABC =>
B H = ABC (по катету и острому углу)
6) B =AB => A B= BA= 45

Найдите их общую хорду, если катеты равны 3 и 4.

Решение. Пусть СD – общая хорда окружностей, построенных на катетах АС = 3 и ВС = 4 прямоугольного треугольника АВС как на диаметрах.
(как вписанные углы, опирающиеся на диаметр). Значит, точка D лежит на гипотенузе АВ, а СВ – высота прямоугольного треугольника АВС, проведённая из вершины прямого угла. Тогда по теореме Пифагора:

SABC= ½*AC*BC и SABC= ½*AB*CD
Получаем ½*AC*BC= ½*AB*CD, откуда выражаем CD.



Ответ: 2,4

А

B

C

D

13, 13, 24 и расстояние между центрами этих окружностей.

Решение. Пусть CD – высота равнобедренного треугольника ABC со сторонами AC=BC=13 и AB=24, О – центр его описанной окружности радиуса R, Q – центр вписанной окружности радиуса r.
Из прямоугольного треугольника ACD находим, что

По теореме синусов:

делённой на его полупериметр, поэтому



Заметим, что


поэтому точки O и Q лежат по разные стороны от AB. Следовательно
OQ=OC – CQ=OC – (CD – QD)= R – (CD – r)=16,9 – (5 – 2,4)=14,3


Ответ:16,9; 2,4; 14,3.

окружности равны, т.е. если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, то AM*MB=CM*MD.

Пример 1. Из точки А, лежащей вне окружности, проведены к окружности касательная и секущая. Расстояние от точки А до точки касания равно 16, а до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32. Найдите радиус окружности, если расстояние от неё до центра секущей равно 5.
Решение. Пусть секущая пересекает окружность в точках B и C, а М – точка касания. Тогда АМ=16, АС=32, АВ+ВС=32. По теореме о касательной и секущей AM=AC*AB, или 16²=32(32-ВС). Отсюда находим, что ВС=24.
Пусть К – проекция центра О данной
окружности на хорду ВС. Радиус окружности
находим по теореме Пифагора из
прямоугольного треугольника ОКВ:


Ответ: 13

пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним

Доказательство. Пусть А и В – точки пересечения двух окружностей, МN – общая касательная (М и N точки касания), К – точка пересечения прямых АВ и MN (А между К и В).
Тогда МК²=КВ*КА и NK²=KB*KA.
Следовательно МК=NK, что и требовалось доказать.

диаметру. Прямая, проходящая через точку С, касается окружности в точке М. Найдите площадь треугольника АСМ, если радиус окружности равен R.

Решение. Пусть О – центр окружности. Тогда ОМ⏊СМ. В прямоугольном треугольнике ОМС известно, что ОМ=R и ОС=ОВ+ВС=R+2R=3R. Тогда




Следовательно,





Ответ:

её в точках A и B. Хорда AC окружности S1 касается окружности S2 в точке А и делит первую окружность на дуги, градусные меры которых относятся как 5:7. Найдите градусные меры дуг, на которые окружность S2 делится окружностью S1.

Решение. Пусть О1 и О2 – центры окружностей S1 и S2 соответственно. Тогда


Поскольку ∠О₁AC=90ᵒ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной), отрезок О₂С – диаметр окружности S₁, поэтому

Тогда градусная мера дуги окружности S₂, заключённой между сторонами угла AO₂C, равна 75ᵒ, а градусная мера дуги AB окружности S₂, содержащейся внутри окружности S₁, равна 150ᵒ. Следовательно, дополнительная к ней дуга окружности S₂ равна 360ᵒ-150ᵒ=210ᵒ
Ответ: 150ᵒ, 210ᵒ

∠BCD=∠BAC. Известно, что ВС=a, AC=b, AB=c. Найдите CD.

Решение. Треугольники CBD и АВС подобны по двум углам, т.к. ∠BCD=∠BAC по условию, а угол при вершине В – общий. Значит, соответствующее стороны этих треугольников пропорциональны, т.е.


Следовательно,






Ответ:

45ᵒ и 60ᵒ соответственно; АМ, BN иCK – высоты треугольника. Найдите отношение MN к KN

Решение. Из прямоугольных треугольников BNC и АМС находим что CN=BCcos60ᵒ=0,5BC, CM=AC*cos60ᵒ=0,5AC, поэтому

Значит, треугольник CMN подобен треугольнику САВ по двум сторонам и углу между ними (угол С – общий), причём коэффициент подобия равен
Следовательно, MN=0,5AB.
Аналогично получим, что треугольник AKN подобен треугольнику ACB, причём коэффициент подобия равен
Значит,

По теореме синусов:
Следовательно:


Ответ: