Презентация, доклад ТРИ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ НА ГЕОМЕТРИЮ ВСЕЛЕННОЙ

ТОЧКИ ЗРЕНИЯ НА ГЕОМЕТРИЮ В С Е Л Е Н Н О Й

Направление: Геометрия

г.Лермонтов 2019

оно отделено от нее? Может оно есть лишь создание человеческого ума или ума божественного?
Только наука может установить истинное строение пространства, а значит дает ответ, какой геометрией описывается его строение.

Строение и развитие Вселенной всегда занимало ученых и будет их занимать. Вопросы мироздания ставились и решались наукой. Поэтому не удивительно, что к одному открытию одновременно подходили и физики и математики.

пространства:

евклидово пространство(плоская Вселенная)

сферическое пространство(замкнутая Вселенная)

Гиперболическое пространство(открытая Вселенная)

работы решались следующие задачи:
1)Описать совпадения и отличия суждений
ученых: Евклида, Лобачевского и
Римана на геометрию Вселенной

2)Выяснить от чего зависит
геометрия Вселенной

3)Установить, применимы ли к
сферическому и гиперболическому
пространству теоремы обыкновенной
геометрии, которую мы учим в школе?

IV-III веках до нашей эры.

В каждой науке наступает время, когда необходимо собрать воедино всё уже известное и из отдельных частей построить здание.
Таким строителем в геометрии стал Евклид. Он поставил своей задачей найти законы, которым подчиняются все линии и тела в природе, и расположить эти законы в стройной системе.

на которых строится вся геометрия, были:

5. И чтобы всякий раз, как прямая, пересекая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, составляющие вместе менее дух прямых, эти прямые при неограниченном продолжении пересеклись с той стороны, с которой эти углы составляют менее двух прямых.

4. И чтобы все прямые углы были друг другу равны.

3. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любого радиуса.

2. И чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжать по прямой.

1. Чтобы от каждой точки к каждой точке можно было провести прямую.

в 19 веке нашим соотечественником - Николаем Ивановичем Лобачевским была создана новая, удивительная геометрия.

Он утверждал, что геометрия Евклида справедлива для сравнительно небольших расстояний одной Солнечной системы с однородной массой и кривизной пространства, равной нулю, то есть связал геометрию с физикой. Он рассмотрел пространство с отрицательной кривизной, и поэтому геометрию Лобачевского называют гиперболической.

предложил немецкий математик Бернхард Риман, который выдвинул ряд новых идей геометрии на поверхности. Риман целиком пересмотрел основы геометрии Евклида, вместо них предложил свои собственные принципы построения геометрии. В отличие от Лобачевского, Риман описывает свою геометрию словесно, без всяких математических выкладок. Примером пространства Римана может служить шаровая сфера, то есть пространство замкнутое.

и гиперболическое пространство.
Я думаю, что любому человеку, изучавшему геометрию в школе, не составит труда представить евклидову плоскость: представьте, что стол, за которым вы сидите, простирается до бесконечных размеров.

Сферические предметы также окружают нас повсюду: возьмите воздушный шар, глобус, футбольный мяч.

рыбы составляют мозаику их мира в созвучии треугольников и квадратов. В работе “Предел Круга IV” ангелы и демоны заключены в гиперболической троице, остальная плоскость заполнена шестиугольниками и восьмиугольниками.

“Предел Круга III” “Предел Круга IV”

Но что такое гиперболическая поверхность, понять гораздо сложнее, чем вообразить сферу. Один способ изобразить эту загадочную поверхность был обнаружен великим французским математиком Анри Пуанкаре. В диске Пуанкаре гиперболическая поверхность смоделирована в круге.

Модель Диска Пуанкаре

КАЖДОМ ПРОСТРАНСТВЕ. МЯЧ СОСТАВЛЕН ИЗ ШЕСТИУГОЛЬНИКОВ И ПЯТИУГОЛЬНИКОВ: РЯДЫ БЕЛЫХ ШЕСТИУГОЛЬНИКОВ ОКРУЖАЕТ МЕНЬШЕЕ ЧИСЛО ЧЕРНЫХ ПЯТИУГОЛЬНИКОВ. ЭТО ПРИМЕР ПРОСТРАНСТВА РИМАНА.

Попытаемся представить его на евклидовой плоскости. Но здесь мы сможем изобразить поверхность, состоящую только из шестиугольников (классический образец улья). Это пример Евклидова пространства.

На плоскости каждый шестиугольник (то есть фигура, которая имеет шесть сторон), окружен шестью другими, и они все сложены вместе и точно заполняют плоскость.

этот подобен тому, что мы видим в листьях салата и некоторых типах водорослей, где растительная поверхность расширяется от середины листа. Это пример пространства Лобачевского.

Существует несколько различных вариантов изображения гиперболического пространства:

Так гиперболическую поверхность воспроизвел на компьютере математик Джеффри Викс.

Компьютерная модель гиперболической поверхности Викса

листьях салата и водорослей, а также в мантиях морских моллюсков

Оригинальный способ представления гиперболической поверхности изобрела математик Корнуэльского университета Дайна Таймина – с помощью вязания.

Вязаная модель гиперболической поверхности

соприкосновения не будет, так как кривизна у них различная. Кривизна плоских фигур равна нулю. Отрезанная от сферы круглая «шапочка» при распластывании на плоскости разрывается точно так же, как выпуклый кусочек кренделя. Значит, длина окружности круга на сфере меньше длины окружности плоского круга, имеющего такой же радиус. Поэтому говорят, что сфера имеет постоянную положительную кривизну.

он будет сморщиваться и накладываться сам на себя. Значит, его площадь больше площади плоского круга того же радиуса. Говорят, что гиперболическая поверхность имеет постоянную отрицательную кривизну.

плоскость, сфера и гиперболическая поверхность. Но применимы ли к последним двум поверхностям теоремы обыкновенной стереометрической геометрии, которую мы учим в школе? На первый взгляд, применимы. Между тем, если присмотреться к сфере и гиперболической поверхности внимательнее - а для этого подойдёт обыкновенный глобус и вязаная модель, - легко обнаружить немало удивительного.

и возьмем точку, не лежащую на этой прямой.

Теперь проведем прямую через точку. Каков результат? Пятый постулат Евклида говорит, что есть только одна прямая, которую можно провести через точку, которая никогда не будет пересекать первоначальную.
Все другие линии отклонились бы относительно первоначальной линии и в конечном итоге пересекли бы ее. Мы говорим, что параллельные линии не пересекаются. Это кажется неоспоримым. Но Лобачевский и Риман предложили опровержение этого постулата.

большие окружности, которым отводится роль прямых в сферической геометрии (на глобусе это экватор и меридианы). В отличие от обычной геометрии любые две сферические прямые пересекаются в двух диаметрально противоположных точках - на сфере отсутствует само понятие параллельности. Другое существенное отличие прямой на сфере от прямой на плоскости заключается в том, что сферическая прямая замкнута: двигаясь по ней всё время в одну сторону, мы в конце концов вернёмся в исходную точку. То есть точка не разбивает сферическую прямую на две части, подобные лучам обычной прямой.

ней прямую линию, то она также как и на сфере не будет восприниматься как прямая на плоскости. Она будет казаться очень сильно искривленной, но можно проверить, что это не соответствует действительности. Так, желтые линии в модели, изогнутые на вид, на самом деле представляют собой прямые.

180 градусов. Это верно на евклидовой плоскости, но это не верно на сфере или на гиперболической поверхности.
Многие свойства сферического треугольника почти дословно повторяют свойства обычного треугольника, например, три признака равенства треугольников.
Но однако, на сфере, сумма внутренних углов треугольника всегда больше чем 180 градусов, поэтому треугольник на сфере может иметь сразу три прямых угла, если, например, он ограничен двумя перпендикулярными меридианами и экватором.

чем 180 градусов. Кроме того, с увеличением длины сторон, углы треугольника будут уменьшаться. А если вершины треугольника бесконечно далеко удалить друг от друга для создания наибольшего треугольника, углы будут стремиться к нулевой величине!

Вселенной мы пришли к следующим выводам: а) если в геометрии Евклида через точку не лежащую на данной прямой , можно провести только одну прямую, параллельную данной, а в геометрии Лобачевского – две и более, то в геометрии Римана вовсе не существует параллельных прямых.
б) Сумма углов треугольника в геометрии Евклида равна 180 градусов, у Лобачевского она всегда меньше 180 градусов, а в геометрии Римана эта сумма всегда больше 180 градусов.

от ее геометрии:
Если Вселенная имеет сферическую геометрию, то она в конце концов будет сжиматься. 2. Если ее геометрия гиперболическая, то расширение будет продолжаться вечно.
Если же геометрия Вселенной евклидова, то она тоже будет вечно расширяться, но скорость расширения будет стремиться к нулю. Споры о том, что представляет Вселенная: евклидово пространство (плоская Вселенная), сферическое пространство (замкнутая Вселенная) или гиперболическое (открытая Вселенная) не разрешены до настоящего времени.

С П А С И Б О З А В Н И М А Н И Е !