Презентация, доклад по теме Замечательные кривые: парабола, эллипс, гипербола

Л. Кекина
Андреева Елена
учитель: Иванченко И. А.

потому что не хочется ограничиваться объемом информации из школьного курса по интересным для меня темам, кривые второго порядка одна из них. Интересно узнать различные свойства параболы, эллипса и гиперболы и многое другое о них.

кривых второго порядка.

и в чем заключается оптическое свойство параболы.
Узнать, как строится парабола.
Вспомнить определение и вывести каноническое уравнение эллипса и гиперболы.
Выяснить, что такое директриса эллипса и гиперболы и их оптическое свойство.
Узнать, как строится эллипс и гипербола.

Платона.
Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность.
Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола.

для каждой из которых расстояние до данной прямой равно расстоянию до данной точки, не лежащей на данной прямой.
Для любой точки М(x;y) расстояние MM' до прямой d равно |y + |,
а расстояние MF равно


Если точка M(x;y) принадлежит искомому множеству, то MM' = MF, т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению
|y + |=

|y + |=

Y=

– директрисой этой параболы. 
Для любой параболы существуют прямая(директриса параболы) и точка(фокус параболы), такие, что расстояние от любой точки параболы до директрисы равно расстоянию от этой точки до фокуса.

уравнением y= ,
а фокусом – точка F (0; )
Для произвольной точки М(x;ax2), лежащей на параболе,
расстояние ММ' до директрисы равно ax2+ ,

а расстояние MF до фокуса равно .
Преобразуя подкоренное выражение, получаем, что
MF= = ax2 + . ММ'=МF.

которых расстояние до данной прямой (директрисы параболы) равно расстоянию до данной точки ( фокуса параболы), не лежащей на директрисе.

отражения от параболы становится параллельным оси параболы ( оси Оу).

в струе фонтана в архитектуре

из всех таких точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 имеет одно и то же значение, большее чем F1F2.

между фокусами
2а – постоянная величина, равная сумме расстояний от произвольной точки эллипса до его фокусов
2с<2а, т. е.с<а.
F1 ( - с ; 0) F2 (с ; 0)

F2 выражаются формулами
МF1 = ,

MF2 = .
MF1 + MF2 = 2а, т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению
+ =2а
Это и есть уравнение эллипса .

,

где b=

Вернуться в содержание

таких точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояния до двух данных точек F1 и F2 имеет одно и то же значение, меньше чем F1F2.

2а - постоянная величина, равная модулю разности расстояний от произвольной точки гиперболы до ее фокусов
2а<2с, т. е. а<с.
Расстояние от М(x ;y) до фокусов F1 и F2 выражаются формулами
МF1 = , MF2 =

уравнению

| - | = 2a

Получим уравнение


Это каноническое уравнение гиперболы.

В случае эллипса a2 – c2>0, а в случае гиперболы a2 – c2<0.
Умножим это уравнение на a2 – c2 и запишем полученное уравнение в виде


Вычитая из обеих частей равенства 2хс, приходим к уравнению

от точки М(x ;y) до фокуса F2(с ; о)
Знаменатель – расстояние от точки М(x ;y) до прямой d2= .

Если выполнив необходимые преобразования и положить х =

точек, для каждой из которых отношение расстояния до данной точки F2 к расстоянию до данной прямой d2 равно одному и тому же положительному числу, которое меньше единицы в случае эллипса ( < 1) и больше единицы в случае гиперболы ( > 1).

= ,
Числитель левой части - расстояние от точки М (х; у) до фокуса F1( -c ; o)
Знаменатель - расстояние от точки М (х; у) до прямой d1 x =

отношение расстояния от любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей прямой имеет одно и то же значение.
Прямые d1 и d2 называются директрисами эллипса(гиперболы).

Тогда, любой луч света, вышедший из фокуса F1,отразившись в какой-то точке М от эллипса, проходит через фокус F2.

эллипсы и гиперболы, для которых эти точки являются фокусами. Каждая из этих гипербол пересекается с каждым эллипсом под прямым углом, т. е. угол между касательными к гиперболе и к эллипсу, проведенными через точку пересечения гиперболы и эллипса, равен 90۫۫۫۫۫۫۫۫۫۫۫۫.

в обыденной жизни

в самолетостроении в средстве связи

в начале координат а расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины, а осью симметрии служит ось Ox.
 
Решение.
y2 = 2px и y2 = -2px.
Параметр параболы p есть расстояние от директрисы параболы до фокуса. Расстояние от фокуса до вершины равно половине параметра. Значит, у нас . Подставляя это значение p в каждое из только что написанных уравнений, получим
y2 = 16x и y2 = -16x.
Эскизы парабол указаны на рисунках

A(4, -1), а вершина ее лежит в начале координат. Составить ее уравнение.
 
Решение.
Так как парабола проходит через точку A(4, -1) с положительной абсциссой, а ее осью служит ось Ox, то уравнение параболы следует искать в виде y2 = 2px. Подставляя в это уравнение координаты точки A, будем иметь

искомым уравнением будет

Эскиз этой параболы показан на рисунке

20, а расстояние между фокусами 30.


Решение
Вершины параболы лежат на ее действительной оси. По условию 2a = 20; 2c = 30. Значит, a = 10; c = 15; a2 = 100; c2 = 225.
Величины a, b, c у гиперболы связаны соотношением
a2 + b2 = c2;
отсюда b2 = c2 - a2 = 225 - 100; b2 = 125.
Значит, уравнением гиперболы будет

две асимптоты, определяемые уравнениями
(1)
Следует найти a и b.
Приведем уравнение гиперболы к простейшему виду, разделив обе его части на 6. Получим
Отсюда заключаем, что . Подставляя эти значения a и b в уравнения асимптот (1) получаем
и .

между его фокусам Составить простейшее уравнение эллипса.
Решение
a + b = 12, .
Для определения уравнения эллипса надо знать a и b. Нам известно, что ; c2 = 18; a2 - b2 = c2.
Поэтому (a + b)(a - b) = 18. Подставляя сюда a + b = 12, найдем, что a - b = 1,5.
Решая систему уравнений
получим, что a = 6,75, b = 5,25. Уравнение эллипса запишется в виде

a = 6, b = 4; б) расстояние между фокусами 2c = 10, а большая полуось 2a = 16;
Решение
а) Простейшее уравнение эллипса имеет вид . Подставляя сюда a = 6, b = 4, получим
б) Имеем 2c = 10; c = 5; 2a = 16; a = 8.
Чтобы написать уравнение эллипса, следует найти малую полуось b. Между величинами a, b и c у эллипса существует зависимость a2 - b2 = c2, или b2 = a2 - c2. В нашем случае b2 = 64 - 25 = 39, и уравнение эллипса будет иметь вид

(2-е изд.) Маркушевич А. И. Государственное издательство технико-теоретической литературы 1952
3. Математика. Справочное пособие. Для школьников старших классов и поступающих в вузы. Рывкин А.А., Рывкин А.З.
4. "Наглядная геометрия. 5-6 классы: пособие для общеобразовательных учреждений" Шарыгин, Ерганжиева
5. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» автор статьи И. Бронштейн.
6. «Занимательное черчение» автор В. Зорин
7. Дополнительные главы к школьному учебнику по геометрии автор Л. Атанасян
8. Источник из интернета :
http://www.etudes.ru/ru/mov/mov012/
http://www.kvant.info/panov/focus/3.html
http://images.yandex.ru/yandsearch?text=%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8%20%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D0%B0&stype=image
http://www.pm298.ru/reshenie/fkuyt.php
http://edu.gorod-artem.ru/content/view/867/9/