Презентация, доклад по математике Окружность

С.Н.

2018

задач по теме «Окружность».

• центральный угол равен дуге окружности, на которую он опирается;
• вписанный угол окружности равен половине центрального угла
и измеряется половиной дуги, на которую он опирается;
• вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен 90◦;
• касательная к окружности перпендикулярна к радиусу этой окружности, проведённому в точку касания;
• отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны;

в угол, лежит на биссектрисе этого угла;
• угол между двумя секущими к окружности, пересекающимися внутри окружности, равен полусумме дуг, высекаемых на окружности вертикальными углами, образованными этими секущими;
• угол между двумя секущими к окружности, пересекающимися вне окружности, равен полуразности дуг, высекаемых на окружности углом, образованным этими секущими;
• две окружности имеют ровно две общие точки (пересекаются в двух точках) в том и только том случае, если расстояние между их центрами меньше суммы радиусов этих окружностей, но больше разности большего и меньшего радиусов;
• две окружности имеют ровно одну общую точку (касаются) в том
и только том случае, если расстояние между их центрами равно сумме
радиусов этих окружностей (внешнее касание) либо равно разности
большего и меньшего радиусов этих окружностей (внутреннее касание);
• формула длины окружности , где r—радиус окружности;
• формула площади круга , где r—радиус круга.

в точках A, E, D и B, как показано
на рисунке. Найдите угол ADB, если угол EAD равен 22◦.
Ответ дайте в градусах.

Решение. Рассмотрим треугольник ACD. Угол ADB является для него внешним при вершине D, значит, он равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним:

Ответ: 55.
Пример 2. Точки А, В, С и D, последовательно расположенные на окружности в указанном порядке, делят ее на четыре дуги, градусные меры которых относятся как 1:2:7:8 (дуга АВ – наименьшая). Найдите градусную меру дуги ВD, содержащей точку С.






 

равнобедренный,
∠ОСВ = ∠ОВС =
∠АОD = ∠ВОС (как вертикальные),
∠АОD = ∠ВОС= 180 – 38*2=180-76=104.
Ответ: 104.

35, т.к. они опираются на одну и ту же дугу DС. Отсюда ∠АВD = ∠АВС - ∠DВС = 105-35=70.
Ответ: 70.

факта:
1. Вписанный угол, который опирается на диаметр , равен . И наоборот, если вписанный угол равен , то он опирается на диаметр. Следовательно, гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС является диаметром описанной около треугольника окружности, то есть
2. центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой гипотенузы. Найдем по теореме Пифагора гипотенузу АВ Отсюда АВ = 5, тогда R=2,5.
Ответ: 2,5.

дуги . ∠NBA опирается на дугу NA. Вписанный угол равен половине величины дуги, на которую он опирается, следовательно, NA= 36*2= 72. АВ – диаметр окружности, поэтому градусная мера дуги ANB равна 180. отсюда дуга NB=180 – 72 = 108. Тогда ∠MNB = 108 : 2 = 54.
Ответ: 54.

что и вписанный угол АВС, следовательно, ∠АОС = 2*∠АВС=2*75=150.
Проведем прямую АО и обозначим точку пересечения АО и ВС буквой К, тогда
∠АОС + ∠КОС =180 (по свойству смежных углов), отсюда ∠КОС =180 - 150 = 30. Угол ОКС – внешний угол треугольника АВК, он равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. ∠ , тогда по теореме о сумме углов треугольника

∠ВСО= ∠КСО = 180 – 118 – 30 = 32.
Ответ: 32.