Презентация, доклад ПО МАТЕМАТИКЕ НА ТЕМУОКРУЖНОСТЬ11 КЛАСС ПОВТОРЕНИЕ

разума – это геометрия.

Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная.

Окружность – душа геометрии.
Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою.

работы с различными задачами с цель подготовки к ЕГЭ.

окружности,
является ее осью симметрии.
Из одной точки можно провести
только две касательные.

Прямые и окружность

Касательная

Секущая

Ось симметрии

О

А

В

М

градусной мере дуги, заключенной внутри этого угла.
2. Равным углам соответствуют
равные дуги.

и Вписанные углы

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

2. Все вписанные углы, опирающиеся на одну
дугу, равны.

А

Е

М

О

Н

В

С

К

М

х

х

х

2х

2х

х

этих вписанных углов равна
180 градусам .

180

90

О

А

В

С

Д

N

F

S

Угол с вершиной внутри круга равен
полусумме дуг, заключенных между
секущими.
АКД= ( АД + ВС ) : 2.



Угол между секущими, вершина
которого расположена вне круга,
измеряется полуразностью дуг,
заключенных внутри угла.

А

В

С

Д

Е

N

S

R

Z

W

К

точку касания, измеряется половиной дуги,
Заключенной внутри этого угла.

х

х

у

у

а

Произведение
отрезков одной
хорды равно
произведению
отрезков другой.

Некоторые свойства хорд

А

В

С

Д

К

М

Х

У

Е

А

В

С

Д

К

М

У

Х

Е

х

х

х

х

КЕ*ЕМ = ХЕ*ЕУ

то квадрат касательной равен
произведению секущей на ее внешнюю часть.






Для любых секущих, проведенных
из одной точки к окружности, верно,
что произведения отрезков секущих
на их внешнюю часть есть число
постоянное, равное а2 – R2,где
а – расстояние от центра до точки А.

А

В

С

Д

АВ2 = АД * АС,
причем квадрат касательной
равен АВ2 = а2 – R2 , где а = АО.

А

В

М

К

Е

АМ * АВ = АЕ * АК = а2 - R2

1. Через любую точку окружности проходит
единственная прямая, касающаяся окружности.
Эта прямая перпендикулярна радиусу,
проведенному в точку касания.

2. Параллельные касательные перпендикулярны
КМ ┴ МО одному диаметру.


а // в


3. Если касательные проведены из одной точки,
то: а) центр окружности лежит на
биссектрисе угла между касательными;
б) отрезки касательных равны.

▲АВО = ▲ СВО → ВА = ВС, ‹ АВО = ‹СВО.

О

А

В

С

О

М

К

О

а

в

90

90

лежат на окружности.

Любой
треугольник
можно
вписать в
окружность.

сторонам треугольника.

А

В

С

О

М

К

Д

О

Х

У

Р

АР=СР, СХ=ВХ, АУ=ВУ,
РО ┴ АС, ХО ┴ СВ, УО ┴ АВ

МО = КО = ДО = R,
МО – медиана.

СО=АО=ВО=R

каждой стороны треугольника.

А

В

С

Д

Е

К

О

Свойства:

1. ВО, АО, СО – биссектрисы;
2. Д, К, Е – точки касания;

3. ЕО, ДО, КО – радиусы
перпендикулярны сторонам;

4. АЕ = АК, ВЕ = ВК, СД = СК;


5. Площадь АВС равна
произведению радиуса на
полупериметр .

вписать в окружность?

Четырехугольник можно вписать тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180 градусов.

если она касается всех его сторон.

Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и
только тогда, когда суммы длин противоположных
сторон четырехугольника равны.

А

В

С

Д

АВ +СД = АД +ВС

К

М

Н

Т

3 и
АС = 5. Длина дуги
АС в 2 раза больше
длины дуги АВ.
Найдите радиус
окружности.

А

В

С

Задача С4 2010год

Решение:

Отрезок ВС, рассмотрим АВС.
Этот треугольник:

1.равносторонний;
2.прямоугольный;
3.равнобедренный.

Из какой теоремы можно найти R:

4. Теорема косинусов;
5. Теорема синусов;
6.Теорема Пифагора.

3 и
АС = 5. Длина дуги
АС в 2 раза больше
длины дуги АВ.
Найдите радиус
окружности.

А

В

С

Задача С4 2010год

Решение:

3/sinx = 5/sin(180-2x) = 2R.

3/sinx = 5/sin2x.

3/sinx = 5/2sinx cosx

6cosx = 5, cosx = 5/6,

Cos2x = 25/36, sin2x = 11/36,

9/sin2x = 4R2, R = 9/ √11

х

х

180-х

3 и
АС = 5. Длина дуги
АС в 2 раза больше
длины дуги АВ.
Найдите радиус
окружности.

А

В

С

Задача С4 2010год

Решение:

Площадь треугольника АВС
√5,5*0,5*2,5*2,5 = 5 √11/ 4

R = авс / 4S = 9/ √11

Кто найдет другие способы решения, тот МОЛОДЕЦ!!!

L

N

O