Презентация, доклад по математике на тему Сечения многогранников

в отличие от архитектурной постройки, рухнет, если хоть один математический кирпичик окажется битым.

и пиши пропало, в ней уже ничему нельзя доверять. По сути, теорема логики утверждает: если в систему вкралась хоть одна ложная теорема — неважно, о чем она, — этого будет достаточно для доказательства, что 1 = 2. Говорят, однажды некий скептик припер к стенке логика Бертрана Расселла, желая возразить против этой уничтожающей теоремы (хотя в итоге говорил об обратном). «Вот что, — рявкнул усомнившийся, — допустим, 1 равно 2, докажите, что вы — Папа Римский». Расселл, по свидетельствам, задумался на миг, после чего ответил: «Папа и я — двое, следовательно, Папа и я — одно»

дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

Галилео Галилей.

вершины, ребра, грани.

и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости

следующим образом

отрезкам - разрезам.

Так как секущая плоскость идет непрерывно, то разрезы образуют замкнутую фигуру-многоугольник.

Полученный таким образом многоугольник и будет сечением тела.

вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры . Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры .    

O

Отрезок FO есть разрез грани KLBA секущей плоскостью.

Аналогичным образом отрезок FG есть разрез грани LMCB.

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Почему мы уверены, что сделали разрезы на гранях?

Постройте сечение призмы, проходящее через точки O,F,G
Шаг 1: разрезаем грани KLBA и LMCB

прямую АВ до пересечения с прямой FO.

O

Получим точку H, которая принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания.

Аналогичным образом получим точку R.

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Через точки H и R проводим прямую HR – след секущей плоскости

Почему мы уверены, прямая HR – след секущей плоскости на плоскости основания?

HR пересекает нижнюю грань многогранника, то получаем точку E на входе и точку S на выходе.

O

Таким образом отрезок ES есть разрез грани ABCD.

Аксиома Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Проводим отрезки ОЕ (разрез грани KNDA) и GS (разрез грани MNDC).

Почему мы уверены, что все
делаем правильно?

и является сечением призмы плоскостью, проходящей через точки O, F, G.

O

G

Задание № 2 Построй сечения призмы по трем данным точкам.

Ответ

А теперь проверь себя!!!

в достаточной мере
универсальным. В тех случаях,
когда нужный след (или следы)
секущей плоскости оказывается
за пределами чертежа,
этот метод имеет даже
определенные преимущества.
Вместе с тем следует иметь в
виду, что построения, выполняемые при использовании
этого метода, зачастую получаются
«искусственное». Тем не менее в некоторых случаях
метод вспомогательных сечений оказывается
наиболее рациональным.

плоскостью PQR, точку R которой зададим на грани АMD,а Q на грани DMC.

1. Находим точки Р', Q' и R' и затем строим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, определяемой какими-нибудь двумя пересекающимися прямыми из трех прямых MP, MQ и МR.
Например, плоскостью МРQ.

B(P’)

2. Построим другое вспомогательное
сечение пирамиды плоскостью
определяемой двумя пересекающимися
прямыми, одна из которых — это
прямая MR, а другая прямая — та, на которой мы хотим найти след плоскости PQR. Например, прямая МС.

а затем строим прямую MF — линию пересечения плоскостей.

4 F'=PQ пересекается MF.

5. Так как точка F' лежит на
прямой PQ, то она лежит
в плоскости PQR. Тогда и
прямая RF, лежит В плоскости MPQ’ проводим прямую PQ и находим
точку
в плоскости PQR.
Проводим прямую RF',
и находим точку С'=RF' пересекается
МС. Точка С', таким образом,
лежит и на прямой МС, и в плоскости
PQR, т. е. она является следом плоскости
PQR на прямой МС (в данном случае и на ребре МС).

B(P’)

P

R

Q

М

А

R’

D

C

Q’

F

F’

C’

РС'. Четырехугольник РС'D'А' — искомое сечение

D’

R’

P

R

Q

М

А

R’

D

Q’

F

C’

Построить сечение призмы по трем данным точкам

Ответ

Удачи вам, в решении задачи!
                                                                           

в
применении теорем о параллельности
прямых и плоскостей в пространстве в
сочетании с
аксиоматическим методом.

P и R лежат в одной плоскости,
проведём прямую PR.

2. Прямая PR лежит в плоскости
AA’B’B, точка Q лежит в плоскости
DD’C’C, параллельной AA’B’B.

3. Проведём через точку Q прямую
параллельную прямой PR,
получим точку K

Почему мы уверены, что все делаем правильно?

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Теорема

K

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны

Прямая LK в плоскости ABCD оставляет след FK

F

6. Точки R и F лежат в одной плоскости AA’D’D, проведём прямую RF.

M

7. Прямая RF лежит в плоскости АA’D’D, точка Q в плоскости BB’C’C,параллельной плоскости AA’D’D.

8. Проведём прямую параллельную
прямой RF, через точку Q, получим
точку M.

Почему мы уверены, что все делаем правильно?

Аксиома Если две различные плоскости
имеют общую точку, то они пересекаются
по прямой, проходящей через эту точку.

Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Теорема

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны