Презентация, доклад по математике на тему :Правильные многогранники

у которого все рёбра равны между собой, все грани равны между собой и грани являются правильными многоугольниками. Пространственная симметрия – основное условие, объединяющее правильные многогранники.

Многогранник называется правильным, если:
он выпуклый;
все его грани являются равными правильными многоугольниками;
в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

далеко за пределы математики. Платон (427 до н.э. — 347 до н.э.) рассматривал их как основу строения Вселенной, Кеплер (1571—1630) пытался связать правильные многогранники с движением планет Солнечной системы (которых в его время было известно пять).
Возможно, именно красота и гармония правильных многогранников заставляла великих учёных прошлого видеть их назначение более масштабным, чем просто геометрических объектов.

В трёхмерном пространстве существует ровно пять правильных многогранников: тетраэдр, октаэдр, куб (гексаэдр), икосаэдр, додекаэдр.

То, что других правильных многогранников не существует, было доказано Евклидом (около 300 г. до н.э.) в его великих Началах. Евклид также нашёл для каждого правильного многогранника отношение диаметра описанной сферы к длине ребра.

от греческой приставки, обозначающей количество чего-либо и слова «грань».

τετρά (греч.) — четырёх- + έδρα — грань = тетраэдр;

εξά — шести- + έδρα — грань = гексаэдр (он же куб);

οκτώ — восьми- + έδρα — грань = октаэдр;

δώδεκα — двенадцати- + έδρα — грань = додекаэдр;

είκοσι — двадцати- + έδρα — грань = икосаэдр.

(Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением:

В + Г = Р + 2

Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1

рёбер, сходящихся в каждой вершине.

Важной комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа p и q, является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Постольку поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, выполняется соотношение:



Из этих соотношений и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р и Г:

его грани — это равносторонние треугольники.

Наиболее важные свойства правильного тетраэдра:
Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. А значит, сумма плоских углов при каждой вершине будет равна 180º;
У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трехгранные углы при вершинах равны.

А

B

c

D

Для правильного тетраэдра актуальны следующие формулы:

Площадь одной грани тетраэдра

Площадь поверхности правильного тетраэдра

Объем правильного тетраэдра

Высота, опущенная на основание

Радиус вписанной в тетраэдр окружности

Радиус описанной окружности

определимую конструкцию, а потому широко применяется в строительстве. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для

Молекула метана

Тетраэдр

пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм, мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.

собой квадрат.

Наиболее важные свойства правильного гексаэдра:
Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками — эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его главным диагоналям.
Диагональю куба называют отрезок, соединяющий две вершины, симметричные относительно центра куба. Диагональ куба имеет свою формулу для вычисления.

A1

B1

C1

D1

правильного гексаэдра (куба) актуальны следующие формулы:

Площадь одной грани куба

Площадь поверхности куба

Объем куба

Диагональ квадрата (грани) куба

Диагональ куба

или иного числового значения.

Структура трёхмерного пространства такова, что любой прямоугольный параллелепипед условно разбиваем на равные друг другу меньшие по размеру кубы, которые, в свою очередь, разбиваются на более меньшие.

В компьютерной 3D-анимации (трехмерная графика в видеоиграх и компьютерных анимационных фильмах) первоначальной единицей моделирования пространства является куб.

Приобрела широкое распространение (в отличие от формы других правильных многогранников) вследствие своей простоты.

правильного октаэдра следует, что все ребра октаэдра имеют равную длину, а грани — равную площадь.

Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести ребер тетраэдра.

Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.

Для правильного октаэдра актуальны следующие формулы:

Площадь одной грани октаэдра

Площадь поверхности октаэдра

Объем октаэдра


Высота октаэдра

форму октаэдра имеют межатомные пустоты (поры) в плотноупакованных структурах чистых металлов (никеле, меди, магнии, титане, лантане и многих других) и ионных соединений (хлорид натрия, сфалерит, вюрцит и др.)

Интересно, что шесть музыкальных нот можно расположить на вершинах октаэдра так, что каждое ребро будет представлять собой созвучную пару, а каждая грань — созвучную тройку.

является вершиной трёх правильных пятиугольников. 
Вершина  додекаэдра  является вершиной трех пятиугольников, таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.

D

A

B

C

E

C1

E1

B1

F

G

H

K

M

D1

A1

M1

G1

H1

F

K1

У додекаэдра центр симметрии состоит из 15 осей симметрии. Все оси проходят через середины
противоположных параллельных ребер.

правильного додекаэдра актуальны следующие формулы:

Периметр додекаэдра

Площадь одной грани додекаэдра

Площадь поверхности додекаэдра

Объем додекаэдра

(одноклеточные планктонные организмы, обитающие преимущественно в тёплых океанических водах) Circorrhegma dodecahedra:

В 2003 году, при анализе данных космического аппарата WMAP, была выдвинута гипотеза, что Вселенная представляет собой додекаэдрическое пространство Пуанкаре (сферическое пространство Пуанкаре может быть получено из додекаэдра склеиванием каждой грани с противоположной, повёрнутой на угол Пи/5 по часовой стрелке).

равносторонние треугольники.

Наиболее важные свойства правильного икосаэдра:
Все двенадцать вершин икосаэдра лежат по три в четырёх параллельных плоскостях, образуя в каждой из них правильный треугольник.
Десять вершин икосаэдра лежат в двух параллельных плоскостях, образуя в них два правильных пятиугольника, а остальные две — противоположны друг другу и лежат на двух концах диаметра описанной сферы, перпендикулярного этим плоскостям.

правильного икосаэдра актуальны следующие формулы:

Периметр икосаэдра

Площадь одной грани икосаэдра

Площадь поверхности икосаэдра


Объем икосаэдра

вершин, граней и рёбер любого выпуклого многогранника ?

Какие многогранники называются правильными? Какие условия должны иметь место, чтобы многогранник назывался правильным?

Формула площади поверхности правильного тетраэдра?

Попробуйте объяснить, почему игральная кость обязательно должна иметь форму правильного многогранника?

Сколько граней у икосаэдра?

Задача.
Объём куба — 64 метра. Чему равно его ребро (в сантиметрах)?

вершин, граней и рёбер любого выпуклого многогранника ?

Какие многогранники называются правильными? Какие условия должны иметь место, чтобы многогранник назывался правильным?

Формула площади поверхности правильного тетраэдра?

Попробуйте объяснить, почему игральная кость обязательно должна иметь форму правильного многогранника?

Сколько граней у икосаэдра?

Задача.
Объём куба — 64 метра. Чему равно его ребро (в сантиметрах)?

ответ: Эйлер

ответ: S = a2√3

ответ: 20

ответ: 400 см