Презентация, доклад по математике на тему Площади и объемы (11 класс)

решать стереометрические задачи. Подготовка к ЕГЭ. Задание №14.

4. Точки K,P,M середины ребер AB,BC,SD.
Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки K,M,P.
Найдите площадь этого сечения.
Решение.
a)

S

L

M

N

C

R

O

Y

B

P

A

K

T

D

L1

M1

N1

KP∩AD = T,
KP∩DC = R,
MR∩SC = L,
MT∩AS=N,
NMLPK – искомое сечение

b) Проекция NMLPK на плоскость основания пирамиды - пятиугольник N1M1L1PK

α - угол между плоскостями сечения и проекции

6

4

,

M1Y = DO = 0,5DB=

MM1= 0,5∙SO = 2

S

D

C

M

L

R

E

2. ME ║ SC,
ME = 0,5∙ SC, LC = 0,5∙ ME = ¼∙SC

S

O

C

L

L1

L1C:OC = 1:4

6

4

равна 6, а боковое ребро равно 5. На стороне CC1 взята точка K так, что CK : KC1 = 1:4, а на ребреA1C1 взята точка M так, что A1M:MC1 = 1:2.
Определите, в каком отношении плоскость BKM делит ребро A1B1 призмы.
Найдите площадь сечения призмы плоскостью BKM.
Решение.

A1

M

K

D

C1

B

A

N

B1

T

C

D1

M1

1. MK∩ AC=T, MK∩AA1=N

2. NB∩A1B1 = D

3.MDBK - искомое сечение

4. MC1K – прямоугольный и равнобедренный (MC1=C1K = 4 )

5. ∠KMC1=450 ⇒∠A1MN = 450

6. A1N =A1M = 2 (из прямоугольного
равнобедренного треугольника A1NM)

7. ∆A1ND~∆ANB ⇒ k = A1N:AN = 2:7

5

6

8. ТогдаA1D:AB = 2:7 ⇒ A1D:DB1 = 2:5

b)

H

M1D1BC – проекция MDBC на плоскость ABC

α =∠KHC (CH⊥ BT)

точку С и середину ребра AB перпендикулярно к основанию пирамиды проведена плоскость α.
Докажите, что плоскость α делит ребро BP в отношении 2:1, считая от точки B.
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если известно, что PA = 10, AC = 16.
Решение.

A

D

C

B

P

M

O

E

N

Пусть M – середина AB, CM∩BD = E. Так как PO⊥(ABC) и α⊥(ABC), то α║PO. Значит, α∩ (PBD) = NE, NE║PO. Сечение NCM –искомое.

P

O

A

B

C

D

M

E

K

∆ MBE~∆KOE⇒ OE:BE=OK:MB , OK=OP-KP=½AB-½MB =½MB
Таким образом,
OE:BE = 1:2

По теореме о пропорциональных отрезках OE:BE = PN:NB.
Значит, BN:NP = 2:1.

b)

10

16

Ответ:

точка P- середина ребра AD, точка M – середина ребра CC1.
Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K,P,M.
Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба равно 6.
Решение.

A

B

C

D

D1

C1

B1

A1

M

P

K

E

N

L

F

KM ∩ DC = E, KM ∩ DD1 =N

EP ∩ BC = F

NP∩ A1D1 = L

FMKLP – искомое сечение

6

= ∠MHC

2. ∆ EMC = ∆KMC1⇒EC=C1K=½C1D1 =3

∆MC1K=∆ND1K⇒ND1 = MC1 =½DD1=3

∆ECF~∆EDP, k = EC:ED = 1:3, CF = ⅓PD = 1

∆ND1L~∆NDP, k=⅓, D1L = 1

∆ECF: ∠С = 90⁰, СH⊥EF,
(метод площадей)

6

6

Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 60⁰.
Докажите, что существует точка О, одинаково удаленная от всех граней пирамиды (центр вписанной сферы).
Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.
Решение.

S

H

C

D

M

Q

P

N

B

A

O

9

9

4

4

Пусть SN,SP,SQ,SM – апофемы граней ABS, BCS,DCS,ADC соответственно.
Тогда по теореме о трех перпендикулярах HN⊥AB, HP⊥BC,HQ⊥DC, HM⊥AD, H – проекция вершины пирамиды на плоскость основания.

∆NHS =∆PHS=∆QHS =∆MHS (по катету и острому углу), то HN=HP=HQ=HM,
то есть H – точка основания, равноудаленная от всех его сторон (центр вписанной окружности)

Плоскости MHS и ADS перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей, значит любой перпендикуляр плоскости MHS к линии пересечения плоскостей, перпендикулярен ADS. Аналогично с остальными парами плоскостей.
Возьмем на прямой HS такую точку O, что OH=OT, где OT⊥MS. Имеем, что О равноудалена от всех граней пирамиды, т. е. является центром вписанной сферы.

T

то по свойству отрезков касательных (с учетом того, что трапеция равнобедренная) BP=PC=CQ=NB. AM=MD=AN=DQ.

b)

A

D

Q

A

B

C

D

P

M

Q

N

9

9

9

9

4

4

4

4

H

12

Высота трапеции

M

H

S

60⁰

O

T

MS = 2MH

Ответ: 468

7 и острым углом arccos0,6. Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом 60⁰.
Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы).
Найдите объем данной пирамиды.
Решение.

S

A

B

C

D

H

M

a) Так как каждое ребро пирамиды наклонено под одним углом к основанию, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности вокруг основания. Это следует из равенства прямоугольных треугольников (по катету и острому углу) с общим катетом SH и гипотенузами – ребрами пирамиды.

Все точки прямой SH равноудалены от вершин основания. Поэтому достаточно выбрать такую точку M на прямой SH, что, например, SM=MA.

Итак, M – центр описанной сферы около пирамиды SABCD

b) Трапеция ABCD – равнобедренная, так как вокруг нее можно описать окружность

описанная около трапеции ABCD – окружность, описанная около ∆ ABD

По теореме синусов радиус R =AH =

∆ASH:

60⁰

Ответ:

C

6, косинус угла между прямыми BD и AC1 равен 0,14.
Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B и D параллельно прямой AC1.
Найдите объем пирамиды, отсекаемой от параллелепипеда этой плоскостью.
Решение.

A

B

C

D

O

K

C1

B1

D1

A1

8

6

a) BD∩ AC = O, OK║ AC1

∆BKD – искомое сечение

OK║ AC1 ⇒∠(AC1;BD) = ∠(OK;BD)

Меньшим углом при пересечении прямых BD,OK будет ∠KOB (угол KOD – тупой (|DK|>|BC|))

cos ∠(AC1;BD)=cos ∠KOB = 0,14

-высота⇒

( метод площадей)

∆ COH: ∠H = 90⁰

∆KOH: ∠H =90⁰, cosα=0,14

α

∆ OKC: ∠С = 90⁰,

Ответ:

=6. Точка K- середина BB1 ,точка P - середина C1D1 . Найдите:
Площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки K и P параллельно прямой BD1 ;
Объем большей части параллелепипеда, отсекаемой от него этой плоскостью.
Решение.

A

B

C

D

C1

D1

B1

A1

K

P

E

L

8

8

6

Плоскость сечения пересечет плоскость BD1B1
(в которой лежит BD1) по прямой (содержащей точку K), параллельной BD1 , так как BD1 по условию параллельна плоскости сечения.

KE║BD1 , E- середина B1D1.

PE∩A1B1 =L.

Соединяем LK

Проводим в плоскости DCC1 через точку P прямую , параллельную LK (параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым).

T

LPTK – искомое сечение.

LPTK –прямоугольник, так как LP║ A1D1 (P – середина D1C1 по условию, E – центр A1B1C1D1 ), A1D1 ⊥ AA1B1 , то есть A1D1⊥LK.

LP = 8, PT =

A и C параллельно прямой BD1
Найдите отношение объемов многогранников, на которые делит параллелепипед эта плоскость.
Решение.

A

B

C

D

L

M

B1

C1

D1

A1

a) AC∩BD = L

LM║ BD1 , M – середина DD1

∆ AMC - искомое сечение

b) Построенное сечение отсекает от прямоугольного параллелепипеда пирамиду ACDM

Ответ: 11

грани PBC.
Докажите, что прямая AM делит высоту PO пирамиды в отношении 3:1, считая от точки P.
Найдите объем многогранника с вершинами в точках A, B, M, P, если известно, что AB = 12, PC = 10.
Решение.

A

B

C

P

O

M

Q

F

E

10

12

a) MF║PO

MQ: PM = FQ: OF (теорема о пропорциональных отрезках)

PM: MQ = 2:1 (свойство медиан)

FQ:OF = 1:2, OQ = 3FQ = ½AO, FQ =1/6 AO,OF = ⅓AO, AF = 4/3AO

∆AEO~∆ AMF, AO:AF = OE : MF, OE = 3/4MF

∆MQF~∆PQO, MF:PO = FQ: OQ = 1:3, MF =⅓PO

OE = ¾ MF =1/4∙PO ⇒ PE: EO = 3:1

=

∆ APO: ∠O= 90⁰,

Ответ:

сторона основания равна . Через точки B и С перпендикулярно ребру PA проведена плоскость α.
Докажите, что плоскость α делит пирамиду PABC на два многогранника, объемы которых относятся как 2:3.
Найдите площадь сечения пирамиды PABC плоскостью α.
Решение.

A

B

C

P

K

M

a) BC α, α⊥AP, α∩AP = K, PK⊥α, AK⊥α

A

P

B

K

H

10

BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1
Докажите, что A1P:PB1 = 1: 2, где P – точка пересечения плоскости α с ребром A1B1
Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α .
Решение.

A

B

C

D

M

B1

C1

D1

A1

K

E

P

a) В плоскости DD1B1 через точку K проведём прямую EK ║ BD1 , E € D1B1

В плоскости A1D1C1 : C1E∩A1B1 = P

Плоскость PC1K ║ BD1 по признаку параллельности прямой и плоскости

∆EB1K~∆D1B1B ⇒ EB1: D1B1 = B1K: B1B = 2: 5

Значит, EB1: D1E= = 2: 3

∆PEB1~∆C1ED1 ⇒ PB1:C1D1=EB1 : D1E = 2: 3

C1D1 = A1B1, значит, PB1:C1D1 = PB1:A1B1 = 2:3

Таким образом, A1P: PB1 = 1:2

5

3

5

5

а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середин рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания отношении 5:1, считая от точки C.
Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием - сечение пирамиды SABC плоскостью α.

2. В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 6. На его ребре BB1 отмечена  точка K так, что KB=5. Через точки K и C1 проведена плоскость α параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P:PB1=4:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α. 

3. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6,  а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α