Презентация, доклад по математике на тему Нахождение расстояния от точки до прямой и между скрещивающимися прямымик учебнику геометрии авторов И.М.Смирнова, В.А.Смирнов

прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую (рис.1).

Для нахождения расстояния от точки А до прямой ɑ сначала находят основание А’ перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую ɑ. Если нахождение длины перпендикуляра АА’ не вытекает непосредственно из условия задачи, то на прямой ɑ выбирают какие-нибудь точки В, С и рассматривают треугольник АВС, в котором АА’ является высотой (рис. 2). Для нахождения высоты АА’ используют теорему Пифагора или другие теоремы и формулы.

до прямой ВС (рис. 3)

Отрезок АВ является перпендикуляром, опущенным из точки А на прямую ВС, и, следовательно, его длина является искомым расстоянием от точки А до прямой ВС.

(Грань АВСD является квадратом. Следовательно, АВ является перпендикуляром, опущенным из точки А на прямую ВС.) Искомое равно длине этого перпендикуляра и равно 1.

1’. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние от точки А до прямой: а) CD; б) ВВ1; в) DD1; г) А1В1; д) A1D1.
(Вместо точки А можно выбирать любую другую вершину куба.)

до прямой: а) DC1; б) A1C1.
Так же как и в предыдущих задачах, вместо точки А можно брать любую другую вершину куба.

2. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние от точки А до прямой ВС1 (рис. 4)

Для доказательства перпендикулярности прямых АВ и ВС1 можно воспользоваться тем, что прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС1 и, значит, перпендикулярна любой прямой, лежащей на этой плоскости. Искомое расстояние равно длине отрезка АВ и равно 1.

до прямой СВ1 (рис. 5)

В этой задаче требуется построить (изобразить) искомый перпендикуляр. Заметим, что треугольник АСВ1 - равносторонний, следовательно, его медиана АМ будет высотой (рис. 6). Таким образом, для построения искомого перпендикуляра достаточно отметить середину М отрезка СВ1 и соединить ее с точкой А. Так как стороны треугольника АСВ1 равны , искомое расстояние равно .

3’. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние от точки А до прямой: а) СD1; б) В1D1.
Следующие задачи наиболее трудные.

до прямой ВD1 (рис. 7).

Для нахождения искомого перпендикуляра рассмотрим треугольник АВD1 (рис. 8). Он является прямоугольным (угол А – прямой) с катетами АВ = 1, AD1 = и гипотенузой BD1 = . Найдем его высоту AN. Для этого можно использовать или преобразование подобия, или тригонометрические функции, или площадь треугольника. Искомое расстояние равно .

4’. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние от точки А до прямой: а) DВ1; б) СА1.

двумя скрещивающимися прямыми в пространстве называется длина общего перпендикуляра, проведенного к этим прямым.
Если одна из двух данных скрещивающихся прямых лежит в плоскости, а другая – параллельна этой плоскости, то расстояние между данными прямыми равно расстоянию между второй прямой и плоскостью (рис. 9).

Если данные скрещивающиеся прямые a и b лежат соответственно в параллельных плоскостях ɑ и β, то расстояние между прямыми a и b равно расстоянию между плоскостями ɑ и β. В этом случае длина перпендикуляра CD, опущенного из произвольной точки C плоскости ɑ на плоскость β, будет равна расстоянию между прямыми a и b (рис. 10).

и BС (рис.11)

Отрезок АВ является общим перпендикуляром к скрещивающимся прямым АА1 и ВС и, следовательно, его длина, равная 1, является искомым расстоянием между этими прямыми.

5’. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние от точки АА1 до прямой: а) СD; б) В1С1; в) C1D1; г) BC1; д) CB1; е) CD1; ж) DC1; з) BD; и)B1D1.
Следующая задача немного труднее.

и BD1 (рис.12)

Здесь общим перпендикуляром является отрезок ЕF, соединяющий середины отрезков АА1 и BD1 (рис. 13).
Действительно, пусть О – центр грани ABCD (рис.14). В четырехугольнике AOFE стороны АЕ и OF равны и параллельны. Значит, этот четырехугольник – параллелограмм, следовательно, стороны EF и AO равны и параллельны.
Прямая АА1 перпендикулярна АО, так как она перпендикулярна плоскости АВС. Прямая BD1 перпендикулярна АО по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, и прямая EF перпендикулярна АА1 и ВД1. ЕF является искомым общим перпендикуляром, длина которого равна .

6’. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние между прямыми: а) АА1 и DB1 ; б) АВ и СА1; в) ВС и АС1; г) СD и BD1; д) AD и BD1.
Наиболее трудной из этой серии является следующая задача.

и BС1 (рис.15)

Расстояние между данными прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями АВ1D1 и BDC1 (рис. 16).
Диагональ СА1 перпендикулярна этим плоскостям и делится ими в точках пересечения E и F на три равные части. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка EF и равно .

7’. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите расстояние между прямыми: а) ВА1 и СB1; б) ВА1 и AС; в) ВА1 и B1D1; г) BA1 и AD1.

10-11 классы : учеб. Для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни). – М. : Мнемозина, 2009-2011г.
Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Расстояния и углы в пространстве. – М. : Экзамен, 2009. – (ЕГЭ 100 баллов).
Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия.. Объемы и площади поверхностей пространственных фигур. – М. : Экзамен, 2009. - (ЕГЭ 100 баллов).
Смирнов В.А. Геометрия. Стереометрия : пособие для подготовки к ЕГЭ / под ред. И.В. Ященко и А.В. Семенова. – М.:МЦНМО, 2009.
Презентация выполнена по материалам статьи
«Как научить школьников решать задачи по геометрии?»
И.М.Смирновой, В.А.Смирнова. Математика в школе. №8, 2010г.