Презентация, доклад по математике на тему Что такое симметрия

Автор проекта:
Исаева Анна
обучающаяся 8 класса.
Наставник проекта:
Тихоновская
Анна Павловна

познакомиться с понятием «симметрия»; изучить виды симметрии; 2. научиться видеть симметрию в различных предметных областях; 3. выяснить, какие предметы окружающего нас мира симметричны.

μετρέω «мерю»), в широком смысле — соответствие, неизменность (инвариантность), проявляемые при каких-либо изменениях, преобразованиях (например: положения, энергии, информации, другого).

Аристотель(384-322 гг до н.э.)

симметрии.

точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.
Все знают, что увидеть зазеркальный двойник объекта совсем нетрудно. Достаточно поместить освещённый объект перед плоским зеркалом и заглянуть в это зеркало. Обычно считают, что наблюдаемый в зеркале двойник является точной копией самого объекта.

фигуры симметричная относительно точки также принадлежит этой фигуре. Точка называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.
•Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм . Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма -точка пересечения его диагоналей. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии у прямой их бесконечно много -любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

некоторой оси на угол, равный 360 градусов . Рассмотрим примеры со всеми известными буквами «И» и «Ф». Что касается буквы «И», то у нее есть так называемая поворотная симметрия . Если повернуть букву «И» на 180 градусов вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой. Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180 градусов . Заметим, что поворотной симметрией обладает также буква «Ф». У трехмерного объекта может быть несколько поворотных осей.

Вырежьте из плотной бумаги квадрат и впишите внутрь его косо другой квадрат).Затем отогните углы бумаги по линиям, ограничивающим внутренний квадрат (соседние углы отгибаются в противоположные стороны). Он имеет поворотную ось 2-го порядка (ось АВ) и не имеет плоскостей симметрии. Будем рассматривать изделия сначала сверху, а затем снизу (с противоположной стороны листа бумаги). Мы обнаружим, что никакого различия между «верхом» и «низом» нет; в обоих случаях объект выглядит одинаково. В связи с этим возникает мысль, что поворотная симметрия 2-го порядка не исчерпывает всей симметрии данного объекта. Дополнительная симметрия, которой обладает наш объект, -это так называемая зеркально-поворотная симметрия: объект совмещается сам с собой в результате поворота на 90 градусов вокруг оси АВ и последующего отражения в плоскости CDEF. Ось АВ называют зеркально-поворотной осью 4-го порядка. Таким образом, здесь наблюдается симметрия относительно двух последовательно выполняемых операций –поворота на 90 и отражения в плоскости, перпендикулярной к оси поворота.

(или кратное этой величине) фигура совмещается сама с собой. В этом случае говорят о переносной, или трансляционной, симметрии. Прямая АВ называется осью переноса, а расстояние а–элементарным переносом или периодом. Строго говоря, симметричная по отношению к переносам фигура должна быть бесконечно длинной в направлении оси переноса. Однако понятие переносной симметрии применяют и в случае фигур конечных размеров, имея в виду наблюдаемое при переносе частичное совмещение фигуры.

поворота и отражения может быть связан новый тип симметрии –зеркально-поворотная симметрия. Комбинирование поворотов или отражений с переносами также может выявить новые типы симметрии.

— пользой, прочностью, красотой. Известное стремление человека к красоте вдохновляет творческую фантазию архитектора на поиск всё новых необычных архитектурных форм, неповторимости облика и яркости художественного образа сооружения. Впечатление от здания во многом зависит от ритма, т.е. от четкого распределения и повторения в определенном порядке объемов зданий или отдельных архитектурных форм на здании (колонн, окон, рельефов и т.д.). Преобладание элементов вертикального ритма — колонн, арок, проемов, — создает впечатление облегченности, устремленности вверх. Наоборот, горизонтальный ритм — карнизы, фризы, пояса и — придает зданию впечатление приземистости, устойчивости. В архитектуре, как и в других видах искусства, существует понятие стиля, т.е. исторически сложившейся совокупности художественных средств и приемов. Наиболее распространена в архитектуре зеркальная симметрия. Ей подчинены постройки Древнего Египта и храмы античной Греции, амфитеатры и триумфальные арки римлян, дворцы и церкви Ренессанса, равно как и многочисленные сооружения современной архитектуры. Центральная и осевая симметрии реже использовались в истории архитектуры. Ей подчинены античные круглые храмы и построенные в подражание им парковые павильоны. К редко используемым видам симметрии относится и винтообразная. Она издавна применялась для элементов зданий — винтовых лестниц и пандусов, витых стволов колонн.

уравновешены наука, техника, искусство. Только соразмерное, гармоничное сочетание этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры . Примером удивительного сочетания симметрии и дисссимметрии является Храм Всех Святых на Мамаевом Кургане, композиция из куполов, каждый из которых обладает симметрией, в целом не имеет ни зеркальной, ни поворотной симметрии. Храм обладает выверенными пропорциями, строгой симметрией фасадов, изяществом украшений, при взгляде на него создается ощущение ясности и уравновешенности. Симметричные архитектурные детали церкви кружатся в своем симметричном танце: они то поднимаются, то опускаются, создавая впечатление радости и праздника. В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. Примером использования осевой симметрии в архитектуре является здание Волгоградского планетария. Затейливое сочетание переносной, зеркальной и поворотной симметрии присутствуют в Казанском кафедральном соборе.

– практически все они от самых малых технических приборов до громадных ракет обладают той или иной симметрией и это не случайно. В технике красота, соразмерность механизмов часто бывает связана с их надежностью, устойчивостью в работе. Симметричная форма дирижабля, самолета, подводной лодки, автомобиля и т.д. обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, и минимальное сопротивление движению. Любой станок, машина, прибор, механизм, узел должны компоноваться вокруг установленной симметрии. На заре развития авиации наши знаменитые учёные Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин исследовали полёт птиц, чтобы сделать выводы относительно лучшей формы крыла и условий его полёта. Большую роль в этом сыграла, конечно, симметрия. Даже современные боевые истребители, такие как Су-27, МиГ-29 и Т-50 в основе своей спроектированы по законам симметрии.

не зная.
Ракоходное отражение - Примерами являются все мажорные и минорные гаммы кроме мелодического вида, а также некоторые отрывки произведений. Например, песня "Священная война" композитора А.В. Александрова и поэта В.И. Лебедева-Кумача, И.С. Бах "Музыкальное приношение"
Ракоходное отражение - Ракоходное отражение -зеркальный вид симметрии в геометрии . В этом случае зеркальная плоскость ориентирована перпендикулярно к нотным линейкам. Отраженные ноты кажутся такими, какими они действительно выглядели бы в зеркале. Начиная от зеркальной плоскости, оригинал проигрывается в обратном направлении.
Обращение интервала - Это самый редко встречающийся вид. Обращение исходит из звуковой последовательности, которая испытывает зеркальное отражение в плоскости, параллельной средней линии нотного стана, так что направления музыкальных интервалов изменяются на обратные. Если мелодия (звуковой ряд) оригинала повышается, то в обращении -понижается на такой же интервал, и наоборот.
Обращение интервала - Примерами могут служить следующие отрывки произведений: "Тарантелла", "Концерт для фортепиано с оркестром" Г. Фоглер.
Ракоходное обращение - При этом в зеркальной части снова меняется направленность звукового ряда по высоте. Понижающаяся мелодия ракохода становится повышающейся, и наоборот.
Ракоходное обращение - Примером является " Концерт для фортепиано с оркестром" Г. Фоглер. трансляционный видТрансляционный вид –поворотный вид в геометрии. Это самый распространенный вид симметрии в музыке. В этом случае музыкальная фраза (мелодия или более крупные отрывки музыкального произведения) повторяется, оставаясь неизменной. Но в некоторых случаях возможна асимметрия, то есть отступление от оригинала, для красоты звучания. трансляционный видПримерами служат все песни, в которых куплет (припев) повторяется без изменения несколько раз. Например, песня "Катюша" М. Исаковского (слова), Блантера(музыка). Так же, произведения написанные в трехчастной форме.

узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов. Орнамент был почти исключительно геометрическим, состоящим из строгих форм круга, полукруга, спирали, квадрата, ромба, треугольника и их различных комбинаций. В народном творчестве, каждая национальная культура выработала свою систему орнамента – мотивы, формы, расположения на украшаемой поверхности. Классическими стали наиболее распространенные древнегреческие орнаменты – меандр и акант. Слово «меандр» происходит от названия очень извилистой реки в Малой Азии. Ныне она называется Большой Мендерес. Акант – это род травянистого растения, распространённого в Средиземноморье. У него большие листья, красиво изогнутые стебли. Орнаментальное искусство достигло совершенства на мусульманском Востоке. Для него характерно сочетание геометрических и растительных мотивов, так как Кораном было запрещено изображение людей и животных. Впоследствии, распространившись по Европе, этот вид орнамента получил название «арабеска» . В исламских странах «арабеска» безраздельно господствует в архитектуре декоре. Высокого развития орнамент достиг в средневековой Руси. Для русского орнамента характерны как геометрические и растительные формы, так и изображения птиц, зверей, фантастических животных и человеческих фигур. В плоском орнаменте одним из наиболее часто используемых мотивов является так называемая «плетёнка» – различного вида переплетение полосок типа лент, ремней, стеблей цветов. Трудно встретить человека, не любовавшегося орнаментами. Один из примеров – паркет.

или предложение читается как слева направо, так и справа налево) – шалаш, казак, радар, Алла, Анна, кок, поп.
НА В ЛОБ БОЛВАН; А РОЗА УПАЛА НА ЛАПУ АЗОРА (А.Фет); Я ИДУ С МЕЧЕМ СУДИЯ (А.Державин); У ЛИП ЛЕША НАШЕЛ ПИЛУ; ОКОЛО МИТИ МОЛОКО; НО НЕВИДИМ АРХАНГЕЛ МОРОЗ УЗОРОМ ЛЕГ НА ХРАМ И ДИВЕН ОН; А ЛОБ АРАПА ПАРАБОЛА.
бесконечная симметрия (когда можно вставить бесконечно много слов)
Я ДЯДЯ Я ДЯДЯ…Я ДЯДЯ; Я ТЕТЯ Я ТЕТЯ…Я ТЕТЯ; У РОЯЛЯ ЛЯ ЛЯ ЛЯ…ЛЯ РУ; КОРОСТЕЛИ ЛЕТЕЛИ ЛЕТЕЛИ…ЛЕТЕЛИ ЛЕТ СОРОК
вертикальная ось симметрии: А;Д;Л;М;П;Т;Ф;Ш.
горизонтальная ось симметрии: В;Е;З;К;С;Э;Ю
вертикальные и горизонтальные оси симметрии: Ж;Н;О;Х.
В литературных произведениях существует симметрия образов, положений, мышления.
В «Евгении Онегине» А.С.Пушкина мы наблюдаем симметрию положений: «Онегин, отвергнувший когда-то любовь Татьяны, сам через несколько лет вынужден испытывать горечь отвергнутой любви».
В трагедии А.С.Пушкина «Борис Годунов» прекрасно выписана симметрия образов.
Убийцу царственного наследника, занявшего престол, сменяет на троне такой же умный, такой же наглый и беспощадный убийца юноши-царевича.

вы подумали, что это ещё один образец генномодифицированного продукта. Но на самом деле это ещё один пример фрактальной симметрии природы. Каждое соцветие брокколи имеет рисунок логарифмической спирали. Романеско внешне похожа на брокколи, а по вкусу и консистенции – на цветную капусту. Она богата каротиноидами, а также витаминами С и К, что делает её не только красивой, но и здоровой пищей.

2. Соты
На протяжении тысяч лет люди удивлялись идеальной гексагональной форме сот и спрашивали себя, как пчелы могут инстинктивно создать форму, которую люди могут воспроизвести только с помощью циркуля и линейки. Как и почему пчелы имеют страстное желание создавать шестиугольники? Математики считают, что это идеальная форма, которая позволяет им хранить максимально возможное количество меда, используя минимальное количество воска. В любом случае, все это продукт природы, и это чертовски впечатляет.

как последовательность Фибоначчи. Последовательность Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т.д. (каждое число определяется суммой двух предыдущих чисел). Если бы мы не спешили и подсчитали количество семян в подсолнухе, то мы бы обнаружили, что количество спиралей растет по принципам последовательности Фибоначчи. В природе есть очень много растений (в том числе и брокколи романеско ), лепестки, семена и листья которых отвечают этой последовательности, поэтому так трудно найти клевер с четырьмя листочками . Но почему подсолнечник и другие растения соблюдают математические правила? Как и шестиугольники в улье, все это – вопрос эффективности.

4. Раковина Наутилуса
Помимо растений, некоторые животные, например Наутилус, отвечают последовательности Фибоначчи. Раковина Наутилуса закручивается в «спираль Фибоначчи». Раковина пытается поддерживать одну и ту же пропорциональную форму, что позволяет ей сохранять её на протяжении всей жизни (в отличие от людей, которые меняют пропорции на протяжении жизни). Не все Наутилусы имеют раковину, выстроенную по правилам Фибоначчи, но все они отвечают логарифмической спирали . Прежде, чем вы позавидуете моллюскам-математикам, вспомните, что они не делают этого специально, просто такая форма наиболее рациональна для них.

быть разделены на две одинаковых половинки. Даже люди обладают двусторонней симметрией, и некоторые ученые полагают, что симметрия человека является наиболее важным фактором, который влияет на восприятие нашей красоты. Другими словами, если у вас однобокое лицо, то остается надеяться, что это компенсируется другими хорошими качествами . Некоторые доходят до полной симметрии в стремлении привлечь партнера, например павлин. Дарвин был положительно раздражен этой птицей, и написал в письме, что «Вид перьев в хвосте павлина, всякий раз, когда я смотрю на него, делает меня больным!» Дарвину, хвост казался обременительным и не имеющим эволюционного смысла, так как он не соответствовал его теории «выживания наиболее приспособленных». Он был в ярости, пока не придумал теорию полового отбора, которая утверждает, что животные развивают определенные функции, чтобы увеличить свои шансы на спаривание. Поэтому павлины имеют различные приспособления для привлечения партнерши.

6. Паутина
Есть около 5000 типов пауков, и все они создают почти идеальное круговое полотно с радиальными поддерживающими нитями почти на равном расстоянии и спиральной тканью для ловли добычи. Ученые не уверены, почему пауки так любят геометрию, так как испытания показали, что круглое полотно не заманит еду лучше, чем полотно неправильной формы. Ученые предполагают, что радиальная симметрия равномерно распределяет силу удара, когда жертва попадает в сети, в результате чего получается меньше разрывов.

и вы увидите, что люди тоже создают симметричные формы. Из-за того, что круги на полях отличаются сложностью дизайна и невероятной симметрией, даже после того, как создатели кругов признались и продемонстрировали свое мастерство, многие люди до сих пор верят, что это сделали космические пришельцы.По мере усложнения кругов все больше проясняется их искусственное происхождение. Нелогично предполагать, что пришельцы будут делать свои сообщения все более трудными, когда мы не смогли расшифровать даже первые из них.Независимо от того, как они появились, круги на полях приятно рассматривать, главным образом потому, что их геометрия впечатляет.

8. Снежинки
Даже такие крошечные образования, как снежинки, регулируются законами симметрии, так как большинство снежинок имеет шестигранную симметрию. Это происходит в частности из-за того, как молекулы воды выстраиваются, когда затвердевают (кристаллизуются). Молекулы воды приобретают твердое состояние, образуя слабые водородные связи, они выравниваются в упорядоченном расположении, которое уравновешивает силы притяжения и отталкивания, формируя гексагональную форму снежинки. Но при этом каждая снежинка симметрична, но ни одна снежинка не похожа на другую. Это происходит потому, что падая с неба, каждая снежинка испытывает уникальные атмосферные условия, которые заставляют её кристаллы располагаться определенным образом.