Презентация, доклад по геометрии Правильные многогранники (11 класс)

Н.Ю. Коблюк
Руководитель Е.В. Морозова

Правильные

многогранники

Тула 2010

отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства»

Бертран Рассел

Эпиграф

каждой его вершине сходится одинаковое число граней.
Все его двухгранные углы равны.


Существует всего пять правильных многогранников:

Тетраэдр (четырёхгранник)
Куб (шестигранник)
Октаэдр (восьмигранник)
Додекаэдр (двенадцатигранник)
Икосаэдр (двадцатигранник)

Правильный многогранник — это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.

этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.
История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Изучением правильных многогранников занимались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях.

Из истории

(427-347 до н. э.) «Тимаус».
Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами. Каждый из правильных многогранников, а всего их пять, Платон ассоциировал с четырьмя «земными» элементами: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с «неземным» элементом - небом (додекаэдр).

Из истории

– первооснов материального мира: огня, воздуха, воды и земли.

Форма куба – атомы земли, т.к. и земля, и куб отличаются неподвижностью и устойчивостью.

Форма икосаэдра – атомы воды, т.к. вода отличается своей текучестью, а из всех правильных тел икосаэдр – наиболее «катящийся».

КОНЦЕПЦИЯ ЧЕТЫРЕХ ЭЛЕМЕНТОВ

и октаэдр, как бы направлен одновременно в разные стороны.

Форма тетраэдра – атомы огня, т.к. тетраэдр наиболее остр, кажется, что он мечется в разные стороны.

Платон вводит пятый элемент – «пятую сущность» - мировой эфир, атомам которого придается форма додекаэдра как наиболее близкому к шару.

выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники.
Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. Однако между двумерным и трехмерным случаями есть важное отличие: существует бесконечно много различных правильных многоугольников, но лишь пять различных правильных многогранников.

Платон

же числом сторон и в каждой
вершине которого сходится одно и то же число ребер.

Гексаэдр

Тетраэдр

Октаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК-

= 2

по три.

У правильного тетраэдра все грани являются равносторонними треугольниками, все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны.

ТЕТРАЭДР

грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
Тетраэдр с ребром х состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) с ребром х/2 и четырёх тетраэдров (по вершинам) с ребром х/2.
Тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба.
Все шесть рёбер тетраэдра будут лежать на всех шести гранях куба и равны диагонали грани-квадрата.
Тетраэдр можно вписать в икосаэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.

ТЕТРАЭДР

и 6 плоскостей симметрии

Радиус описанной сферы:



Радиус вписанной сферы:



Площадь поверхности:



Объем тетраэдра:

квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы. Куб имеет шесть квадратных граней, сходящихся в каждой вершине по три.

КУБ (ГЕКСАЭДР)

вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба. Все шесть рёбер тетраэдра будут лежать на всех шести гранях куба и равны диагонали грани-квадрата.
Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками - эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его диагоналям.
В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми гранях октаэдра.
В куб можно вписать икосаэдр, при этом, шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.

КУБ (ГЕКСАЭДР)

и 9 плоскостей симметрии.

                    
 

Радиус описанной сферы:


Радиус вписанной сферы:


Площадь поверхности куба:

 
Объем куба:

S =6a2

V =a3

Окта́эдр — один из пяти правильных многогранников.
Октаэдр имеет 8 граней (треугольных),
12 рёбер, 6 вершин (в каждой вершине сходятся 4 ребра).

ОКТАЭДР

грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
Октаэдр с ребром у состоит из 6 октаэдров (по вершинам) с ребром у:2 и 8 тетраэдров (по граням) с ребром у:2
Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми гранях октаэдра.

ОКТАЭДР

осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:


Радиус вписанной сферы:


Площадь поверхности:


Объем октаэдра:
                                                                                         

из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Поверхность икосаэдра состоит из двадцати равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по пять.

ИКОСАЭДР

рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба
В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
Икосаэдр можно вписать в додекаэдр притом, вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
В икосаэдр можно вписать додекаэдр притом, вершины додекаэдра будут совмещены с центрами граней икосаэдра.

ИКОСАЭДР

и 15 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем икосаэдра:

правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Имеет двенадцать пятиугольных граней, сходящихся в вершинах по три.

ДОДЕКАЭДР

вершин (в каждой сходятся 3 ребра. Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.


Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими костями) в настольных ролевых играх.

ДОДЕКАЭДР

симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Радиус описанной сферы:

Радиус вписанной сферы:

Площадь поверхности:

Объем додекаэдра:

скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр .
Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.
Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов.
Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.
При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами (K[Al(SO4)2] ⋅ 12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.
Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.
В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.
Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Феодария
(Circjgjnia icosahtdra)

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ В ПРИРОДЕ

сумел пробраться в самые глубины различных наук»

Л. Кэрролл