Презентация, доклад по геометрии Параллельные прямые

класса «Г»
Шумикова Полина
Крупина Кристина
Руководитель: учитель математики Иванченко И.А

параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Параллельность прямых a и b обозначается так: a∥b или b∥a.

часто встречаемся в окружающей нас жизни, хотя, как правило, редко на этом акцентируем свое внимание. На уроках музыки, открывая нотную тетрадь, сразу же невооруженным взглядом мы видим линии нотного стана. Но параллельные линии мы можем увидеть не только в нотных тетрадях и сборниках песен, но и если внимательно присмотреться к музыкальным инструментам. Ведь струны гитары, арфы или органа также расположены параллельно.

Оказавшись в метро или на железной дороге, также не сложно заметить, что рельсы расположены параллельно друг к другу.

Параллельные линии можно встретить повсюду. Они нам постоянно встречаются в быту, живописи. Без них не обойтись и в архитектуре, так как в строительстве зданий строго учитывается понятие параллельности.

(Рис.1)

(Рис.2)

доказывать. В каждой науке есть свои аксиомы, на справедливость которых строят все дальнейшие суждения и их доказательства.
В одной плоскости с заданной прямой через точку, не лежащую на этой прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной прямой.
Иногда эту аксиому называют как одно из свойств параллельных прямых, но на справедливости этой аксиомы строятся многие доказательства в геометрии.
(Рис.3)

(Рис.3)

ли, если прямая c параллельна прямой a, то она параллельна и прямой b?
(Рис.4)

(Рис.4)

Аксиома параллельных прямых.

из параллельных прямых - прямой a, пересекает другую прямую b в некоторой точке K.
(Рис.5)

Аксиома параллельных прямых. Первое свойство.

(Рис.5)

точку проходят две пересекающиеся прямые, которые параллельны одной и той же прямой a. Такого не может быть, значит прямые b и c пересекаться не могут.
Мы доказали, что верно - если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.
(Рис.5)

(Рис.5)

прямых a, то она пересекает и вторую параллельную прямую b.
(Рис.6)

(Рис.6)

ситуация, когда прямая пересекает одну из параллельных прямых, но не пересекает другую.
(Рис.7)
Свойства углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых с третьей секущей мы уже назвали в первой части теории.

(Рис.7)

соответственные углы равны,
- сумма односторонних углов равна 180°.
(Рис.8)

(Рис.8)

углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые a и b, АВ - секущая, 1 и 2 –накрест лежащие, 1 = 2.
Доказать: a∥b.
(Рис.9)

т.е. эти углы прямые, получим a АВ и b АВ (Рис.4), следовательно a∥b , (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны).
(Рис.10)

Доказательство:

(Рис.10)

Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой a. На прямой b от точки В отложим отрезок ВН1 такой, что ВН1 = АН и проведем отрезок ОН1 (Рис. 5).

Получим ОНА = ОН1В по 1 признаку равенства треугольников (по построению ВН1 = АН, АО = ОВ, т.к. О - середина АВ, 1 = 2 по условию), следовательно, 3= 4 и 5 = 6.

Из равенства 3 = 4 следует, что точка Н1 лежит на продолжении луча ОН, т.е. точки О, Н и Н1 лежат на одной прямой, а из равенства 5 = 6 следует, что 6 - прямой, также как и 5 (т.к по построению ОН a ).

Получаем, НН1 a и НН1 b, значит a∥b (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны). Что и требовалось доказать.
(Рис.11)

(Рис.11)

прямые параллельны.
Дано: прямые a и b , АВ - секущая, 1 и 2 - соответственные, 1 = 2 (Рис.12).
Доказать:a∥b

Доказательство:
По условию 1 = 2 и 2 = 3, т.к.они вертикальные, откуда 1 = 3, при этом углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно, a∥b (теоремa 1). Что и требовалось доказать.

(Рис.12)

180 градусов , то прямые параллельны.
Дано: прямые a и b , АВ - секущая, 1 и 2 - односторонние, 1 + 2 = 180 градусов (Рис.13).
Доказать: a∥b.

Доказательство:
Углы 3 и 2 - смежные, значит по свойству смежных углов 3 + 2 = 180 градусов,откуда 3 = 180 градусов - 2, при этом 1 + 2 = 180 градусов, откуда 1 = 180 градусов - 2, тогда 1 = 3, а углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно, a∥b(см. теорему 1). Что и требовалось доказать.

(Рис.13)

что AC∥BD .
Дано:AO=OB,CO=OD.Докажите, что AC∥BD .

Доказательство:
AO=OB
CO=OD
1 = 2(т.к они вертикальные)
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, СОА= DOB.
Тогда 3= 4.
Поскольку эти углы являются накрест лежащими при прямых AC и BD и секущей АВ, то по первому признаку параллельности прямых ,AC∥BD что и требовалось доказать.
(Рис.14)

(Рис.14)

равна 210°.
Найдите эти углы.
Дано: a∥b, <1=<2=210°
Найти: <1, <2

Решение:
Поскольку прямые a и b параллельны, то накрест лежащие углы равны.
Следовательно, <1=<2
Тогда 2<1=210°
<1=<2=105°
Ответ: <1=<2=105°
(Рис.15)

(Рис.15)

и b с секущей c, если один из углов равен 15°
Дано: a∥b, <1=150°
Найти: остальные углы

Решение:
1)<3=<1 т.к вертикальные
2)<2=180°-<1 т.к смежны
<2=<4 т.к вертикальные
<2=30°
3)<1=<5 и <2=<6 т.к соответственные
<5=<7 и <6=<8 т.к вертикальные
Ответ:<2=<6=<8=30°,<3=<5=<7=150°
(Рис.16)

(Рис.16)

1 и 2. Докажите, что m∥n .
Дано: a∥b, m и n- биссектрисы
Доказать: m∥n

Решение:
Т.к a∥b следовательно <1=<2 т.к накрест лежащие
Следовательно,<3=<4=<5=<6 как половинки равных углов
<3=<6 и они накрест лежащие при m∥n секущей c,что и требовалось доказать
(Рис.17)

(Рис.17)

b с секущей c, если один из углов на 70°.
больше другого.
Дано: a∥b, <1=<2+70°
Найти: остальные углы. Решение:

2. и (как соответственные)

и ( как вертикальные)
Ответ: ,

+

,

.

(Рис.18)

(Рис.18)

2. Докажите, что a∥b .
Дано: <2=45°, <7=3<2
Доказать:a∥b
Доказательствo:

1) <7=3*45°=135°
2)<5=<7=135°(как вертикальные);
<2=<4=45(как вертикальные);
3)<5+<4=135°+45°=180°
Тогда, поскольку сумма внутренних углов равна , то по третьему признаку параллельности прямых, , что и требовалось доказать.
(Рис.19)

(Рис.19)

треугольников следует, что AD=CB, AC=BD.
Тогда <1=<2, <3=<4, <5=<6.
<3 и <4 – являются накрест лежащими углами прямых АС и BD и секущей АВ.
Тогда по первому признаку параллельности прямых AC∥BD.
<5 и <6 – являются накрест лежащими углами прямых AD и BC и секущей АВ.
Тогда по первому признаку параллельности прямых AD∥BC. (Рис.20)

(Рис.20)

<МАС =>ABD = 40° ( как соответственные)
Т.к. АВС р\б, то АВС = АСВ ( по свойству р\б треугольника)
Т.к. АС BD, то АСВ = CBD ( как накрест лежащие)
Следовательно: ВС – биссектриса (Рис.21)

(Рис.21)

°

р\б, то <А = <ВСА ( по свойству р\б тр-ка)
2) <ВСЕ = 180° – 60° ( по свойству смежных углов)
3) Т.к. CD – биссектриса, то 4) <А и Т.к. эти углы равны, то АВ∥CD
Что и требовалось доказать.
(Рис.22)

(Рис.22)

через точку С прямую а1 так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей СD и прямыми a и b, были равны.
По признаку параллельности прямых прямые a1 и b параллельны, а т.к. через точку С может проходить только одна прямая, параллельная прямой b, то прямая а совпадает с прямой а1.
Значит внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми a и b с секущей С, равны, т.е. <1 = <2, но <2 + <3 – смежные, следовательно, <2 + <3 = 180°
Учитывая, что <2 = <1, имеем: <1 + <3 = 180°, что и требовалось доказать. (Рис.23)

(Рис.23)