Презентация, доклад по геометрии на тему Тетраэдр и его свойства

средняя общеобразовательная школа № 45

Методическое пособие для учащихся 10 классов

«Тетраэдр и его свойства».

Составил
учитель математики
первой категории
Гавинская Елена Вячеславовна.

г.Калининград
2015-2016 учебный год

треугольников с общей вершиной, называется пирамидой.

называется вершиной пирамиды, а отрезки РА1,РА2,…,РАn – ее боковыми ребрами.

Пирамиду с основанием А1А2…Аn и вершиной Р обозначают : РА1А2…Аn и называют n-угольной пирамидой.

Определение.

соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой данной пирамиды.

SАВСD – правильная пирамида.
АВСD – квадрат (правильный четырехугольник).
SО – высота.

Определение.

являются равными равнобедренными треугольниками.
Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.
Двугранные углы при основании равны.
Двугранные углы при боковых ребрах равны.
Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания.
Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней.

периметра основания на
апофему :
9. В правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся
ребра взаимно перпендикулярны.
10. Плоскость, проходящая через высоту правильной
пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна
к плоскости боковой грани.

Sбок = ½ ∙ Росн ∙d

тетраэдром и обозначается так: DАВС.

!!! Тетраэдр – простейшая пирамида.

Определение.

hedra – «основание, грань».
Тетраэдр ABCD задается четырьмя своими вершинами – точками A, B, C, D, не лежащими в одной плоскости: грани тетраэдра – четыре треугольника; ребер у тетраэдра шесть.
В отличие от произвольной пирамиды (n – угольной пирамиды, n≥4) , в качестве основания тетраэдра может быть выбрана любая его грань.

∆АВС,∆АВD,∆АСD, ∆ВСD – грани тетраэдра АВСD;
АВ,АС,АD,ВС,СD,ВD – ребра тетраэдра.

принадлежащую этому основанию, параллельна третьему ребру основания».

Свойство тетраэдра:

К – середина ВС: ВК=КС Доказать: (РМК)║ВС

одной точке, в которой они делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Так, 6 плоскостей, проведенных через ребра тетраэдра и середины противолежащих ребер, пересекаются в одной точке – в центроиде тетраэдра.
Медианами в тетраэдре называются отрезки, соединяющие его вершины с центроидами противоположных граней. Эти четыре отрезка всегда пересекаются в одной точке О и делятся в ней в отношении 3:1, считая от вершин.

Медианы тетраэдра.

медиан тетраэдра РАВС.

ребер тетраэдра, причем они делятся точкой О пополам.

Бимедианы тетраэдра.

и КО=ОЕ.

пары параллельных плоскостей, ограничивающих параллелепипед, называемый описанным параллелепипедом тетраэдра. Ребра тетраэдра являются диагоналями граней параллелепипеда, середины ребер – их центроидами. Отсюда следует, что все бимедианы проходят через центр O параллелепипеда и делятся им пополам. Нетрудно увидеть, что медианы тетраэдра лежат на диагоналях граней параллелепипеда и также проходят через точку O.

Центроид тетраэдра, как и центроид треугольника, является центром равных масс, помещенных в его вершины, – обстоятельство, которое можно использовать для доказательства приведенных выше свойств. Чисто геометрически их можно доказать с помощью следующей полезной конструкции.

всегда проходят через одну и ту же точку. Иначе обстоит дело с высотами – перпендикулярами, опущенными из вершин тетраэдра на противоположные грани. Высоты треугольника пересекаются в одной точке – ортоцентре. То же верно и для правильных тетраэдров, в частности для правильных треугольных пирамид.

Ортоцентрический и
прямоугольный тетраэдры.

так и называются – ортоцентрические тетраэдры. Любой из них можно получить, взяв в качестве основания произвольный треугольник и соединив его вершины с любой точкой на перпендикуляре к его плоскости, восстановленном из его ортоцентра. И обратно, основания всех высот ортоцентрического тетраэдра – ортоцентры его граней.

является ортоцентрическим тогда и только тогда, когда его противоположные ребра перпендикулярны; или середины всех шести ребер лежат на одной сфере; или все ребра описанного параллелепипеда равны.

Некоторые свойства треугольника, связанные с ортоцентром, например, теорема о прямой Эйлера и об окружности девяти точек в соответственно измененном виде, можно найти и у ортоцентрического тетраэдра.

описанной сферы O и делит этот отрезок пополам, а точка, которая разбивает отрезок OH в отношении 1:2 является центром «сферы 12 точек» – на ней лежат ортоцентры и центроиды всех граней, а также точки, делящие отрезки от H до вершин в отношении 1:2.
Об одном виде ортоцентрических тетраэдров стоит сказать отдельно – о тетраэдре, в вершине М которого сходятся три взаимно перпендикулярных ребра. Очевидно, эта вершина M и будет его ортоцентром. Такой тетраэдр называется прямоугольным. Для него выполняется своего рода
«теорема Пифагора»:
«Если S1, S2, S3 – площади его прямоугольных граней («катетов»), а S – площадь четвертой грани («гипотенузы»), то: S2= S12+ S22+ S32».

треугольники.

граней, равны друг другу.
Центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра.

– соответственно центры граней правильного тетраэдра: МРН, МРК, КРН, МКН.
Доказать: АВ=ВС=АС=АЕ=ВЕ=СЕ

– соответственно центры граней правильного тетраэдра: МРН, МРК, КРН, МКН.
Доказать:
АВСЕ – правильный тетраэдр.

6 плоскостей симметрии – они проходят через каждое ребро перпендикулярно противолежащему ребру и 3 оси симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер (рис.1).

Симметрия в тетраэдре.

3 оси симметрии). Правильная пирамида переходит сама в себя при поворотах вокруг высоты на 120˚и 240˚ (Рис.2).

треугольники, либо четырехугольники.

найти.

Пирамида Шивы.