Презентация, доклад по геометрии на тему Сфера (11 класс)

данной точки на данное расстояние.

Точка О называется центром сферы,
R-радиус сферы

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы .

формуле:

Если точка М лежит на данной сфере, то МС2=R2, то есть

до плоскости.

Следовательно, C(0;0;d). Поэтому сфера имеет уравнение

Плоскость совпадает с Оxy и поэтому её уравнение имеет вид z=0.
Если точка М(x;y;z) удовлетворяет обоим уравнениям, то она лежит и в плоскости и на сфере, т.е. является общей точкой плоскости и сферы.
Следовательно, возможны 3 решения системы:

, x2 + y2 = R2 – d2
уравнение имеет множество решений, сечение сферы плоскостью - окружность с центром в точке
О(0;0;0) и r2=R2 – d2

2) d=R , x2 + y2 =0 , x=y=0 следовательно сфера пересекается с плоскостью только в одной точке О(0;0;0).

– d2 < 0
x2 + y2 ≥0 , x2+y2=R2 – d2 не имеет решений.
Следовательно, плоскость и сфера не имеют общих точек.

со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется
точкой касания плоскости и сферы.

Теоремы

(1) Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

(2) Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

к плоскости, следовательно, ОА > R , но точка А принадлежит сфере, тогда получаем противоречие, следовательно, ОА перпендикулярен плоскости.

Теорема (1)

Теорема (2)

Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это означает, что данная плоскость является касательной к сфере.

описанным около сферы (шара) , если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник.

Пусть описанный около сферы многогранник имеет n-граней. Будем неограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани.

Можно доказать, что этот предел существует, и получить формулу для вычисления площади сферы радиуса R :