Презентация, доклад по геометрии на тему Пирамида в прикладных задачах

средняя общеобразовательная школа № 45

Методическое пособие для учащихся 10 классов

«Пирамида в прикладных задачах».

Составил
учитель математики
первой категории
Гавинская Елена Вячеславовна.

г.Калининград
2015-2016 учебный год

плоскости (основания) сходятся в одной точке (вершине).
Герон предложил следующее определение пирамиды: это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которой служит многоугольник.
Тейлор определил пирамиду как многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке.

Евклида принадлежит величайший математический труд – «Начала», в 13 книгах которого дано строгое и логическое изложение всего геометрического материала, известного до него и дополненного им самим. Изложение – дедуктивное, опирающееся на аксиомы и постулаты. Первые четыре книги посвящены планиметрии, пятая – теории пропорции, шестая – подобию фигур, седьмая, восьмая и девятая – теории чисел, десятая – соизмеримым и несоизмеримым количествам, оставшиеся три книги – основным теоремам стереометрии, метрическим соотношениям для пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, сферы; правильным многогранникам.
Ни одна научная книга не пользовалась таким большим и длительным успехом. С 1482 года «Начала» Евклида публиковались более чем в 500 изданиях на многих языках мира.
Евклиду принадлежат также такие труды как, «Деление фигур», «О ложных заключениях».

работ, явившихся энциклопедией античной прикладной математики. Он вывел формулы для приближенного и точного измерения различных геометрических фигур, включая известную формулу площади треугольника по сторонам, указал правила численного решения квадратных уравнений и приближенного извлечения квадратных и кубических корней. Сочинения Герона пользовались большим успехом в течение многих столетий.

и обратный метод приращений» дал общую формулу разложения функции в степенной ряд (формулу Тейлора). Он разрабатывал теорию конечных разностей, а также автор ряда работ о перспективе. Член Лондонского королевского общества (1712) и его ученый секретарь (с 1724). Именем Тейлора названы степенной ряд.

предметов, сложенных в виде сужающегося кверху многогранника или конусообразно. Ружья в пирамиде (составленные друг с другом наклонно штыками вверх).
Гимнастическая или акробатическая фигура - несколько акробатов, гимнастов, стоящих друг на друге.
Станок для хранения винтовок (спец.).

Негеометрические определения пирамиды.

и n треугольников с общей вершиной, называется пирамидой.

Пирамиду с основанием А1А2…Аn и вершиной Р обозначают : РА1А2…Аn и называют n-угольной пирамидой.

называется вершиной пирамиды, а отрезки РА1,РА2,…,РАn – ее боковыми ребрами.

Элементы пирамиды.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.

полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней, т.е. сумма площадей ее основания и боковых граней.
Sполн. = Sоснов + Sбок

Площадь пирамиды.

соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой данной пирамиды.

Высота боковой грани
правильной пирамиды,
проведенная из ее вершины,
называется апофемой.

являются равными равнобедренными треугольниками.
Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.
Двугранные углы при основании равны.
Двугранные углы при боковых ребрах равны.
Каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания.
Каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней.

8. Sбок = ½ ∙ Росн ∙ d, где d - апофема

β||α основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках B1,B2,…,Bn. Плоскость β разбивает пирамиду на 2 многогранника. Многогранник, гранями которого являются n–угольники A1A2…An и B1B2…Bn(нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и n четырехугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, …, AnA1B1Bn(боковые грани), называется усеченной пирамидой.

Определение.

= SАА1В1В + SВВ1С1С + SСС1D1D + SАА1D1D

пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания.
Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции.

(МНК) || α;
АСНМ,АМКВ,ВСНК – равнобедренные трапеции, т.е. АМ=КВ=НС

Высоты боковых граней правильной усеченной пирамиды называются апофемами.

апофему».

Sбок. пр. пир. = ½∙(Росн1+Росн2 ) ∙d

равны S и S1, вычисляется по формуле

пирамиды, если глубина ямы 1,5м, сторона нижнего квадратного основания 0,8м, а верхнего – 1,2м?

ее высота равна 1,5м, сторона нижнего квадратного основания 0,8м , а верхнего – 1,2м.

АВ=0,8м, А1В1=1,2м
Найти:
Vус. пир.

= A1B12
SA1B1C1D1 = 1,22 = 1,44 (м2)

Решение:

с квадратными основаниями. Стороны оснований: а=2,8м и b=2м. Найти вес подставки, если удельный вес гранита 2,5∙10³кг/м³.

сторонами а=2м и b=2,8м. Найти вес подставки, если удельный вес гранита 2,5∙10³кг/м³.

м,А1В1=2,8 м,
ОН – высота пирамиды, ОН=3,6м,
ρ=2,5 ∙10³кг/м³
Найти:
Р

и углом наклона грани к основанию в 45˚. Сколько листов железа размером 70см × 140см нужно для покрытия крыши, если на отходы нужно добавить 10% площади крыши?

равной 4,5м, покрыли листами железа размером 70см × 140см. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45˚. Найти площадь поверхности, покрытой листами железа, если известно, что на отходы приходится 10% боковой площади поверхности пирамиды.

- высота ∆СSD, т.е. SК⊥СD;
размеры листа: 70см × 140см;
отходы: 10%·Sбок

Найти:

N (количество листов).

7∙1, 4 =0, 98 (м²)
12) N = (35 + 3,5) :0, 98 ≈ 40
Ответ: 40 листов

Размеры одной черепицы 35см × 20см. Сторона основания состоит из 29 черепиц, а апофема – из 13 черепиц. Сколько квадратных метров черепицы потребуется, чтобы закрыть эту крышу?

четырехугольной пирамиды металл черепицей. После окончания работы оказалось, что на стороне основания пирамиды поместилось 29 черепиц, а на апофеме – 13 черепиц. Какую площадь поверхности строители покрыли металл черепицей, если размеры одной черепицы 35см × 20см?

черепица: а=35см, b=20см;
на АВ - 29 черепиц,
на РК – 13 черепиц.
Найти:
Sбок.пов.

(м)
Росн. = 4∙АВ
Росн. = 4∙5,8 = 23,2 (м)

Sбок.пов. = ½ ∙ Росн. ∙ РК
Sбок.пов. = ½ ∙ 23,2 ∙ 4,55 = 52,78 (м²)
Ответ: 52,78 м²

вкуснейшим молочным шоколадом с разнообразными начинками внутри… Кроме того, внутри вас ожидает сюрприз – пирамидка из марципана, нежнейший крем, а также сироп с кусочками фруктов…Ммм… Но нужно рассчитать, сколько же нам понадобится :
вафель на основу (площадь полной поверхности пирамиды),
марципана (объём маленькой пирамиды),
крема (объём верхней пирамидки),
сиропа (оставшейся объём).
шоколада (Sполн ∙0,3см).

см, а боковые рёбра – 5см.
Точки K, L, M и N соответственно делят
боковые рёбра пирамиды PA, PB, PC и PD,
считая от вершины пирамиды в отношении 2:3.
Сечение KLMN параллельно основанию ABCD. Угол
между боковыми гранями пирамиды PABCD и её
основанием равен 45о, высота пирамиды РО
пересекает сечение KLMN в точке Q. Найти
площадь полной поверхности пирамиды, объём
OKLMN, PKLMN и оставшейся.

основанию, т.е. (KLM)║(ABC);
PO – высота PABCD.
РО∩(KLM)=Q;

PK:KA=PL:LB=PM:MC=РN:ND=2:3;
∠РАВО= ∠РВСО=∠PCDO=∠PADO=45o;

V PKLMN ;
V оставшейся

параллельных плоскостей KL║AB.
2. Т.к. (KLM)║(ABC) (по условию), (KLM)∩(CВР)=LM и (CВР)∩(АВС)=ВC, то по свойству параллельных плоскостей LM║BC.
3. Т.к. (KLM)║(ABC) (по условию), (KLM)∩(РCD)=MN и (РCD)∩(АВС)=CD, то по свойству параллельных плоскостей MN║CD.

свойству параллельных плоскостей KN║AD.
5. Т.к. по условию, РABCD - правильная пирамида, то по свойству ABCD - квадрат, т.е. АВ║CD и BC║AD (по определению).

MN║CD (доказали). Значит,
KL║MN.
7. Т.к. LM║BC и BC║AD
(доказали), то по теореме
транзитивности LM║AD
Но KN║AD (доказали). Значит,
LM║KN. Итак, KLMN –
параллелограмм.

√АР2+АН2 ;
PH= √52+22= √25+4= √29
≈5,385(см)

наклонная к (АВС)
ОН – её проекция на (АВС)
РН ⊥АВ (по построению)
АВ с (АВС)
ОН ∩ АВ = Н
ОН ⊥АВ (по теореме о трёх
перпендикулярах).
Но РН ⊥АВ (по построению)
РН с (АВР)
ОН с (АВС)
∠РНО – линейный для ∠РАВН,
т.е. ∠РНО=45.o

т.е. по
определению РО ⊥ОН.
Значит, в прямоугольном
∆РНО : sinPHO=PO/PH
sin45o=PO/PH
PO=PH∙sin45o
PO=5,385∙0,707≈3,807(см)
13.Т.к. PABCD – правильная
пирамида (по условию), то
S полн. PABCD = Sбок + SABCD=0,5 PABCD ∙PH + AB2 , S полн. PABCD =
=0,5∙4∙4∙5,385+42=43,08+16=59,08 (см2)

VPABCD=1/3 ∙ 42 ∙ 3,807=1/3 ∙ 16 ∙3,807≈20,304(см3)

16. KL║AB (доказали), AP∩KL=K

∠PKL=∠PAB (как соответственные)

AP∩AB=A

Но ∠APB – общий для ∆PAB и ∆KPL

∆PAB ~ ∆KPL (по 2 углам). Значит,

РA:РК = AB:KL. Но АB = 4 см и РА:РК = 5:2,

KL=2∙4/5=1,6 (см).

BP∩LM=M, BP∩BC=B
Значит, ∠PLM= ∠PBC
(как соответственные) . Но
∠CPB – общий для ∆PBC и
∆PLM.
Значит, ∆PBC ~ ∆PLM (по2
углам).
Значит, РB:РL = BC:LM
Но CB = 4 см и РB:РL = 5:2,
LM=2∙4/5=1,6 (см)
Ho KL=1,6 cm (нашли)
KL=LM=1,6 cm.

c (PBC), BC c (PBC)
KL║AB(доказали) и LM║BC (доказали)
Значит, ∠KLM= ∠ABC (как углы с соответственно сонаправленными сторонами). Но ∠ABC=900 (т.к. ABCD - квадрат), значит, ∠KLM = 900 .

19. KLMN – параллелограмм
(доказали),
KL=LM (доказали),
∠KLM = 900 (доказали).
Значит, KLMN – квадрат.

– высота пирамиды(по условию), то по определению РО ⊥(АВС), т.е. по определению РО⊥ОA, т.е. ∠POA=900.

22. PO⊥(ABC) (как высота пирамиды)
РО∩(KLM) = Q, PO ⊥(KLM) (по свойству параллельных
плоскостей), (KLM)║(ABC) (по условию). Значит, РО⊥KQ,
т.е. ∠PQK=900. Но ∠POA=900(доказали), ∠POA=∠PQK=900.
Ho ∠APO – общий, значит, ∆PAO ~ ∆KPQ (по 2 углам).
Значит, РA:РК = PO:PQ . Но PO = 3,807 см и РА:РК = 5:2,
PQ=2∙3,807/5=1,5228 (см)

= 2,2842 (см)

24. VPKLMN=1/3 SKLNN ∙ PQ
VPKLMN=1/3 ∙2,56 ∙ 1,5228 ≈ 1,898 (cм3)

25. VQKLMN=1/3 SKLNN ∙ OQ
VQKLMN=1/3 ∙ 2,56 ∙ 2,2842 ≈ 1,949 (cм3)

26. Vоставшейся=VPABCD-(VPKLMN+VOKLMN)
Vоставшейся=20,304-(1,898+1,949) =16,457 (cм3)

27. 59,07∙0.3= 17,721 (cм3)

59,07 см2,
марципана (объём маленькой
пирамиды) 1,949 cм3,
крема (объём верхней
пирамидки) 1,898 cм3,
сиропа (оставшейся объём) 16.457cм3,
шоколада (Sполн ∙0,3см)
17.721 cм3.