Презентация, доклад по геометрии на тему Методы построения сечений в многогранниках

на построение, известную из курса планиметрии: 1) анализ; 2) построение; 3) доказательство; 4) исследование.
На этапе анализа предполагаем, что задача уже решена, выполняем соответствующий рисунок и, опираясь на известные свойства прямых и плоскостей, пробуем составить план построения.
На этапе построения по составленному плану описываем построение, детализируя его до элементарных построений в изображённых плоскостях.
На этапе доказательства обосновываем, что в результате построения действительно получили фигуру с заданными свойствами.
На этапе исследования рассматриваем каждый шаг построения и отвечаем на два вопроса: 1) Всегда ли можно выполнить этот шаг? 2) Сколько фигур получим в результате?

данную точку М на ребре AD проведите плоскость, параллельную плоскости грани DBC.

Анализ. Допустим, что задача решена и соответствующее сечение МКТ построено.

Т.к. (МКТ) || (DBC), то грани ADC, ADB и АВС пересекают параллельные плоскости по параллельным прямым.
Значит, МК || DB, МТ || DC и ТК || ВС.
Это даёт возможность выполнить построение.

М

данную точку М на ребре AD проведите плоскость, параллельную плоскости грани DBC.

Проведём через точку М в плоскости ADC прямую МТ || DC (Т АС),

М

В

А

С

D

а в плоскости ADB – прямую МК || DB (К АВ)

и соединим точки Т и К.

Тогда МКТ - искомое сечение.

Построение.

данную точку М на ребре AD проведите плоскость, параллельную плоскости грани DBC.

Доказательство. По построению МТ || DC и MK || DB, тогда (MKT) || (DBC) по признаку параллельности плоскостей.

Исследование. Задача всегда имеет единственное решение, так как каждый шаг можно выполнить однозначно.

М

ABCDA1B1C1D1 плоскостью, которая проходит через точки К, М, N, где МАА1, NВВ1, К лежит в грани DCC1D1.

Ориентир. Если данный многогранник содержит параллельные грани, которые пересекает плоскость сечения, то линии пересечения секущей плоскости с этими гранями параллельны.
/Свойство параллельного проектирования/

N

М

К

ABCDA1B1C1D1 плоскостью, которая проходит через точки К, М, N, где МАА1, NВВ1, К лежит в грани DCC1D1.

Точки М и N принадлежат секущей плоскости и лежат в одной грани АВВ1А1, поэтому их можно соединить отрезком MN.

N

М

К

Т.к. DCC1D1||АВВ1А1, то секущая плоскость пересекает грань DCC1D1 по прямой ТЕ, проходящей через точку К параллельно MN.

Решение.

Соединив точки М, Т, Е и N получим искомое сечение – четырёхугольник МТЕN.

грани (след секущей плоскости на этой грани), а потом находят точки пересечения секущей плоскости с соответствующими рёбрами многогранника (или с их продолжениями). Иногда для этого необходимо рассматривать определённые вспомогательные плоскости, для которых также строят след секущей плоскости (или след этой вспомогательной плоскости на плоскости какой-либо грани).

с плоскостью  всегда лежит на следе плоскости  на плоскости  (т.е. на прямой b).

Содержание метода
Для получения следа (т.е. прямой b) плоскости  на плоскости  достаточно найти точки пересечения двух прямых плоскости  с плоскостью  (т.к. две точки, например А и С, однозначно определяют прямую b).





найти точку пересечения прямой с плоскостью проекции, достаточно найти точку пересечения прямой с её проекцией на эту плоскость.

Содержание метода
Для получения следа (т.е. прямой b) плоскости  на плоскости  достаточно найти точки пересечения двух прямых плоскости  с плоскостью  (т.к. две точки, например А и С, однозначно определяют прямую b).





L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба.

L

М

К

Метод следов

Решение.

Построим проекции точек K, L, M на плоскость основания ABCD. Проекциями будут соответственно точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и М.

L1

L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба.

L

М

К

Метод следов

Решение.

Построим проекции точек K, L, M на плоскость основания ABCD. Проекциями будут соответственно точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и М.

L1

Построим точку Р пересечения LK и L1А.

Р

L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба.

L

М

К

Метод следов

Решение.

Построим проекции точек K, L, M на плоскость основания ABCD. Проекциями будут соответственно точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и М.

L1

Построим точку Р пересечения LK и L1А.

Р

Прямая МР – след секущей плоскости на плоскости основания, а точка Н – точка пересечения МР и АD и ещё одна точка сечения куба.

L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба.

L

М

К

Метод следов

Решение.

Далее, используя параллельность противоположных граней куба, строим LF || МН.

L1

Соединяем F и К.

Р

Строим МЕ || FК.

Соединяем полученные точки сечения и получаем шестиугольник КНМЕLF – искомое сечение.

их проекции на какую-либо плоскость (наиболее часто на плоскость основания многогранника). Также находят проекцию какой-либо ещё не построенной точки сечения. (Эту неизвестную точку сечения, как правило, выбирают на боковом ребре многогранника таким образом, чтобы какие-то два отрезка, соединяющие четыре точки проекции, пересекались во внутренней точке этих отрезков). С помощью трёх данных точек и четырёх проекций находят четвёртую точку, принадлежащую плоскости сечения. Если необходимо, таким же образом получают пятую, шестую и т.д. точки, которые лежат на плоскости сечения и рёбрах многогранника, т.е. получают сечение.

точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба.

L

М

К

Решение.

Построим проекции точек K, L, M на плоскость основания ABCD. Проекциями будут соответственно точки А, L1 (LL1 || ВВ1) и М.

Будем искать точку Е пресечения секущей плоскости с ребром СС1: проекцией точки Е на плоскость основания является точка С. Соединим четыре точки-проекции отрезками АС и L1М, обозначим точку пересечения Х1.

Х1

точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба.

L

М

К

Решение.

* Точка Х1 – проекция некоторой точки Х секущей плоскости, в которой пересекается прямая LM с пока ещё не определённой прямой КЕ. Проведём через Х1 прямую ХХ1 || LL1, в пересечении ХХ1 и ML получим точку Х.

Х1

Х

точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба.

L

М

К

Решение.

Х1

Х

Теперь проводим прямую КХ до пересечения с ребром СС1 и получаем точку Е.

Е

Дальнейшие построения опираются на параллельность противоположных граней куба, которые секущая плоскость пересекает по параллельным прямым:

Соединяем М и Е.

Строим КF ||МЕ.

F

Соединяем Е и L.

через точки К, L, М, которые лежат на попарно скрещивающихся рёбрах куба.

L

М

К

Решение.

Х1

Х

Теперь проводим прямую КХ до пересечения с ребром СС1 и получаем точку Е.

Е

Дальнейшие построения опираются на параллельность противоположных граней куба, которые секущая плоскость пересекает по параллельным прямым:

Строим MH || FL.

F

Соединяем К и Н, L и Е и получаем шестиугольник КНМЕLF – искомое сечение.

H

(ЕГЭ, 2012). Точка Е – середина ребра АА1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите площадь сечения куба плоскостью C1DЕ, если рёбра куба равны 2.

Решение.

Т.к. точки Е, D и D, С1 попарно принадлежат одной грани, можем соединить их отрезками.

Соединяем К и С и получаем четырёхугольник ЕКC1D – искомое сечение.

Е

Т.к. DCC1D1||АВВ1А1, то секущая плоскость пересекает грань АВВ1А1 по прямой ЕК, параллельной DC1.

К

Дальнейшее решение строится на рассмотрении вида четырёхугольника ЕКC1D.

Ответ: 4,5

Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). Каждое ребро правильной треугольной призмы равно а. Через сторону основания и середину оси (ось – отрезок, соединяющий центры оснований) проведена плоскость. Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью.

Решение.

Проекцией точки S на плоскость основания является точка О.

Применим метод внутреннего проектирования:

Точки Е и Т сечения будут лежать на линиях LL1 и ММ1, параллельных АА1.

С

В

А

С1

В1

А1

S

O

Точки Е и Т сечения будут результатом пересечения BS с LL1 и CS с ММ1 и лежать на соответственных гранях призмы.

Т

Е

Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). Каждое ребро правильной треугольной призмы равно а. Через сторону основания и середину оси (ось – отрезок, соединяющий центры оснований) проведена плоскость. Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью.

Решение.

Через точки В и Е, С и Т проведём линии сечения на гранях призмы до пересечения с рёбрами верхнего основания и получим четырёхугольник ВКDС – искомое сечение.

С

В

А

С1

В1

А1

S

O

Т

Е

Дальнейшее решение строится на рассмотрении вида четырёхугольника ВКDС.

Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка К – середина ребра SB . Найдите расстояние от точки А до плоскости КDF.

Решение.

Применим метод внутреннего проектирования:

Для начала нужно построить секущую плоскость КDF.

Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка К – середина ребра SB . Найдите расстояние от точки А до плоскости КDF.

Решение.

Проекцией точки К на плоскость основания является точка Р.

Проекция вспомогательной точки Х, принадлежащей секущей плоскости, будет результатом пересечения ОС и PD.

О

Р

Х

М

FX  SC = М – искомая точка секущей плоскости.

Проведём KD и линию, параллельную SO до пересечения с KD – получим вспомогательную точку Х.

Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка К – середина ребра SB . Найдите расстояние от точки А до плоскости КDF.

Решение.

Проекция вспомогательной точки Y, принадлежащей секущей плоскости, будет результатом пересечения ОA и PF.

О

Р

DY  SA = L – искомая точка секущей плоскости.

Проведём KF и линию, параллельную SO до пересечения с KF – получим вспомогательную точку Y.

Y

L

Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с основанием ABCDEF сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 8. Точка К – середина ребра SB . Найдите расстояние от точки А до плоскости КDF.

Решение.

О

Р

Соединив полученные точки L и M с К, D и F, получим искомую плоскость КDF, (MКLDF – пятиугольник, изображающий искомую плоскость).

L

М

Дальнейшее решение строится на нахождении расстояния от точки А до плоскости пятиугольника MКLDF.

52, Пособие С2-2013, Корянов, Прокофьев). В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1, найти угол между прямой АВ1 и плоскостью АСЕ1.

Решение.

Проекцией точки Е1 на плоскость основания является точка Е.

Для начала нужно построить секущую плоскость АСЕ1.

Точки Е и Т сечения будут лежать на линиях LL1 и ММ1, параллельных АА1.

Точки Е и Т сечения будут результатом пересечения BS с LL1 и CS с ММ1 и лежать на соответственных гранях призмы.

А

В

С

D

Е

F

Применим метод внутреннего проектирования:

А1

А1

А1

А1

классы. – 2-е изд., испр. – М.:ИЛЕКСА, 2012
www.alexlarin.net – сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов высшей математики (Пособие для решения заданий С2, авт. Корянов А.Г., Прокофьев А.А.)