Презентация, доклад по геометрии для подготовки к ОГЭ Окружность, круг и их элементы прототипы №17 ОГЭ

класса «А» школы №87
Бегунова Карина
Кирамова Лилия
Руководитель: Галиахметова Зульфия Ильясовна

Казань 2019г.

вокруг многоугольника
Центральные и вписанные углы

(A), называется касательной к окружности.
Общая точка называется в этом случае точкой касания.
Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке:

к окружности, проведённых из одной точки, равны.
Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Соотношение между касательной и секущей
Произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной
Угол между касательной и хордой
Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду.

Отрезки AM и BM равны

Соотношение между секущей и касательной

то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC2 = MA•MB.




Теорема о секущих:
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

ЗАДАЧА

Угол ACO равен 28° , где O — центр окружности. Его сторона AC касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение:
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Значит, угол CAO — прямой. Из треугольника ACO получим, что угол AOC равен 62 градуса.
Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги AB — тоже 62 градуса.
Ответ: 62

ХОРДА

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Свойства хорды:
Хорды, равноудаленные от центра окружности, равны.
Хорды окружности равны, если они стягивают равные центральные углы.
Если диаметр перпендикулярен хорде, то он проходит через ее середину.
Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, равны.
Дуги, заключенные между двумя равными хордами, равны.
Любая пара вписанных углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°
Если хорда стягивает дугу с градусной мерой , то ее длина

Для любых двух хорд  и , пересекающихся в точке О, выполняется:

AO·OB = CO·OD

ЗАДАЧА

В окружность вписан четырехугольник  ABCD со сторонами AB=AD и  ∠A= 80° Найти: ∠ACD

Решение:
Рассмотрим треугольник ABD. Так как AB=AD, то он равнобедренный, а значит, углы при основании BD равны и

Углы ∠ABD и ∠ACD опираются на одну хорду, значит они равны, т.е.

Ответ:

которая пересекает в двух точках данную кривую, а также прямая, пересекающая две другие прямые, лежащие в той же плоскости, в двух разных точках.


Теорема о секущих:
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Здесь  AC – секущая – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.

ЗАДАЧА

Из точки к окружности проведена касательная AB=12 см и секущая (ACD). Известно, что AC в два раза меньше CD. Найти длину секущей.

Решение:
Из свойств секущей и касательной известно, что AB²= AD·AC. Пусть AC= x, тогда CD=2x, а
Следовательно,
Откуда x=4∠3  . Таким образом,
Ответ:

РАДИУС

Ра́диус — отрезок, соединяющий центр окружности (или сферы) с любой точкой, лежащей на окружности (или сфере), а также длина этого отрезка.
Радиус составляет половину диаметра.

Свойства:
Радиус, проведённый в точку  окружности, перпендикулярен касательной к окружности в этой точке.

Радиус, перпендикулярный хорде, делит её на две равные части

Радиус окружности обозначен красным цветом

ЗАДАЧА

Около окружности, радиус которой равен 3∠2, описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата. 

Решение:
Сторона квадрата вдвое больше радиуса вписанной в него окружности. Поэтому сторона квадрата равна 6∠2.
Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали.
Поэтому радиус описанной окружности есть 
Ответ:6

пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность и только одну.
Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
Площадь многоугольника будет максимальной, если он вписан в окружность.

только одну.
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
Радиус  R окружности, описанной около треугольника, равен отношению произведения сторон  a, b, c треугольника к его учетверенной площади:  
Радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла  

лежащий против
стороны где a.

Площадь вписанного треугольника вычисляется по формуле:

около этого треугольника.

Решение:

многоугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем, только одну.
Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру:  


Чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, он должен быть выпуклым.
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, если суммы его противоположных сторон равны.

Найдите периметр этого треугольника.

Решение:

две дуги.
У каждой дуги есть градусная мера. Сумма градусных мер двух дуг с общими концами равна 360°. Если отрезок, соединяющий концы дуги, является диаметром окружности, то дугу называют полуокружностью. Градусная мера полуокружности равна 180°.
Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.
Градусная мера центрального угла равна градусной мере соответствующей дуги окружности: ∡AOB=∪AB.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:∡ACB=12∪AB.

угол, опирающийся на полуокружность, равен 90°.

Свойство пересекающихся хорд окружности:
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков второй хорды.
Это свойство легко доказать, дополнив рисунок и рассмотрев подобие ΔCKA∼ΔBKD.
Треугольники подобны, потому что имеют равные углы: ∡1 — вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, ∡2 — вертикальные углы. 
Если AKKD=CKKB, то AK⋅KB=CK⋅KD.