Презентация, доклад по геометрии 8 класс на тему: Признаки подобия треугольников.

подобия треугольников.
Третий признак подобия треугольников.

е.
АВ.
CD
Говорят, что отрезки АВ и CD пропор-циональны отрезкам А1В1 и C1D1, если
АВ = CD.
А1В1 C1D1
Например, отрезки АВ и CD, длины которых равны 2 см и 1 см, пропорциональны отрезкам А1В1 и C1D1, длины которых равны 3 см и 1,5 см.

В самом деле, АВ = CD = 2.
А1В1 C1D1 3

равны. В этом случае стороны АВ и А1В1, ВС и В1С1, СА и С1А1 называются сходственными.
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

АВ ВС СА
А1В1 В1С1 С1А1

k

Число k, равное отношению сходственных сторон треугольников, называется коэффициентом подобия.

треугольников равно квадрату коэффициента
подобия.

Дано:  АВС ~  А1В1С1. Коэффициент подобия равен k.

Доказать: S =
S1

k²

Доказательство: Пусть площадь  АВС равна S, а площадь  А1В1С1 равна S1.
Так как

то

(по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу). Так как

поэтому

Теорема доказана.

равны двум углам другого , то такие треугольники подобны.

Дано:  АВС,  А1В1С1.

Доказать:  АВС ~  А1В1С1.

Доказательство: по теореме о сумме углов треугольника

и, значит,

Таким образом, углы  АВС

соответственно равны углам  А1В1С1. Докажем, что стороны АВС пропорциональны сходственным сторонам А1В1С1.

Т.к.

то

Из этих равенств следует, что

Аналогично, используя равенства

получаем

Итак, стороны  АВС пропорциональны сходственным сторонам  А1В1С1. Теорема доказана.

сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано:  АВС,  А1В1С1,, у которых

Доказать:  АВС ~  А1В1С1.

Доказательство: Достаточно доказать, что

Рассмотрим  АВС2, у которого

Треугольники АВС2 и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому

С другой стороны, по условию

Из этих двух равенств получаем АС = АС2.

 АВС и  АВС2 равны по двум сторонам и углу между ними (АВ – общая сторона, АС=АС2 и )

Отсюда следует, что

а так, как

Теорема доказана.

сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Дано:  АВС,  А1В1С1,, у которых

Доказать:  АВС ~  А1В1С1.

Доказательство: Достаточно доказать, что

Рассмотрим  АВС2, у которого

Треугольники АВС2 и А1В1С1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому

Сравнивая эти равенства с равенствами, которые записаны в дано, получаем:

 АВС=  АВС2 по трем сторонам. Отсюда следует, что

Теорема доказана.

а так как