Презентация, доклад по геометрии 10 задач по теме Параллелограмм

2019г.

стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).
Противоположные стороны и противоположные углы параллелограмма равны.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

a = S/ha; b = S/hb
a = hb/sin а; b = ha/sin a
P = 2a + 2b = 2(a + b)
S = a· ha; S = b· hb
S = ab· sin α; S = ab· sin β

=∠A = 65° как противоположные углы параллелограмма.
∠А +∠В = 180°, как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма.
∠В = 180° — ∠А = 180° — 65° = 115°.
∠D =∠B = 115°, как противолежащие углы параллелограмма.
Ответ: ∠А =∠С = 65°; ∠В =∠D = 115°.

у параллелограмма имеется  2 равных острых угла и 2 равных тупых угла, то нам дана сумма двух тупых углов, т.е. ∠В +∠D = 220°.

Тогда ∠В =∠D = 220°: 2 = 110°.
∠А +∠В = 180° как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, поэтому ∠А = 180° — ∠В = 180° — 110° = 70°. Тогда  ∠C =∠A = 70°.
Ответ: ∠А =∠С = 70°; ∠В =∠D = 110°.

K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 6, CK = 10.

Решение. Углы BKA и KAD равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AK, значит углы BAK и BKA также равны. Следовательно, треугольник ABK — равнобедренный, откуда AB = BK = 6. BC= BK+CK=6+10=16. AB=DC, BC=AD(противоположные стороны параллелограмма равны). Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон P = 2(BC + AB) = 2(6 +16) = 44.
 
Ответ: 44.

B

A

C

D

K

угол. Ответ дайте в градусах.

Решение 1.
Пусть x — меньший угол параллелограмма, тогда 2x — больший угол, x + 2x + x + 2x = 360° (т.к. сумма всех углов в любом четырёхугольнике равна 360°) 6x = 360° , откуда x = 60°.
Таким образом меньший угол параллелограмма равен 60°.

Ответ: 60.

 

Решение 2.
Пусть x — меньший угол параллелограмма, тогда 2x— больший угол
x + 2x = 180° (как односторонние углы параллелограмма), 3x = 180° ⇒ меньший угол параллелограмма равен 60°.

Ответ: 60.
 

x

2x

из углов равен 1500.

Решение.
Используем формулу площади параллелограмма:

S= AB • AD • sin A

Стороны равны 1, а острый угол будет равен 300:

S= AB • AD • sin A = 1•1• sin 30° = 1 • ½ = 0,5

Ответ: 0,5

1500

Parallelos - параллельный и gramme - линия. Поэтому слово параллелограмм можно перевести как «параллельная линия».

Евклид

середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Точнее
Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника. Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым.

точка H лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что MH = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.

M

N

P

Q

H

Решение.
Так как точка H принадлежит отрезку MQ, то MH + HQ= MQ = 8 см и NP = MQ = 8 см (как противоположные стороны параллелограмма). Треугольник MNH—прямоугольный и ∠MNH = 30°, то ∠M = 180° - 90° - 30° = 60°, ∠M = ∠P (противоположные углы параллелограмма), ∠P = 60°,
∠N = ∠Q = 180° - 60° = 120°(противоположные углы параллелограмма).
MN = PQ (как противоположные стороны параллелограмма), MN = PQ = 2MH = 6 см. (по свойству в прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет равный половине гипотенузы.)
Ответ: 120° 60°, 6 см, 8 см

H

AD за точку D. Этот перпендикуляр пересёк прямую AD в точке E, причём CE = DE. Найдите ∠B параллелограмма ABCD. Ответ дайте в градусах.

Решение.
Т.к. ∠ADC и ∠CDE смежные, то ∠ADC + ∠CDE = 180°.
Рассмотрим треугольник CDE, равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда ∠EDC = ∠DCE. Так как ∠DEC = 90°, а сумма углов треугольника равна 180°, то ∠EDC = 45°, тогда ∠ADC = 180° − 45° = 135°. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то ∠B = ∠ADC = 135°. Ответ: 135°

боковым сторонам. Доказать, что периметр полученного четырёхугольника равен сумме боковых сторон треугольника.
Дано: ABC  – равнобедренный треугольник (AB = BC); MK II AB; ML II BC; M ∈ AC. Доказать: P(BKML) = AB + BC

Доказательство.
BKML – параллелограмм. Докажем, что треугольники ∆ALM и ∆MKC  – равнобедренные. Действительно: ∠KMC = ∠A - как соответственные, при параллельных прямых AB и MK, и секущей AC ; ∠LMA = ∠C – как соответственные, при параллельных прямых LM и BC, и секущей AC. С другой стороны, ∠A = ∠C  (свойство равнобедренного треугольника). Значит,  ∠KMC = ∠A = ∠LMA = ∠C и треугольники ∆ALM и ∆MKB – равнобедренные. Тогда, P(BKML) = BK + KM + ML + LB, так как KM = KC, LA = ML(боковые стороны равнобедренного треугольника), то P(BKML) = BK + KC + BL + LA, так как BC = BK + KC, AB = BL + LA, значит P(BKML) = BC + AB, что и требовалось доказать.

MNPQ, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, — параллелограмм.

Диагонали четырехугольника MNPQ так же пересекаются в точке О, которая будет серединой каждой их них. Действительно, так как вершины четырехугольника MNPQ  по условию являются серединами отрезков ОА, ОС, ОВ и OD, то  BN=ON=OQ=DQ  и  AM=OM=OP=CP. Следовательно, диагонали MP и NQ четырехугольника MNPQ в точке пересечения делятся пополам, значит, четырехугольник MNPQ – параллелограмм, что и требовалось доказать.

Доказательство.
По свойству диагоналей параллелограмма ABCD его диагонали AC и BD точкой пересечения делятся пополам, т.е. ОА=ОС и ОВ=OD.

≠ ВС и угол А — острый, проведены перпендикуляры  BK  и DM к прямой АС. Докажите, что четырехугольник BMDK — параллелограмм.

Доказательство.
Рассмотрим ΔАВС и ΔCDA.
AC−общая, AB = CD и BC = AD (как противоположные стороны параллелограмма.) ⇒ ΔАВС = ΔCDA по III признаку равенства треугольников. Так как ВК и DM  перпендикулярны одной и той же прямой АС, то ВК II DM. Кроме того, ВК и DM являются высотами, проведенными в равных треугольниках  ΔАВС и ΔCDA из вершин равных углов ∠B  и ∠D к одной и той же стороне АС, следовательно, ВК = DM. Имеем: две стороны ВК и DM четырехугольника BMDK параллельны и равны, значит, BMDK – параллелограмм, что и требовалось доказать.