Презентация, доклад НОУ по геометрии Формула Герона

ученица 8 «б» класса
МБОУ «Школа №66» 
Руководитель: Китаева М.В.
учитель математики

класса является тема «Площадь треугольника». В ней рассматриваются различные формулы для нахождения площади треугольника, в том числе формула Герона.
Но, к сожалению, в школьном учебнике ей уделено недостаточно внимания.
В данной работе более подробно рассматривается формула Герона и ее применение, поскольку она значительно упрощает  процесс решения задач, что важно как на контрольной работе, так и во время экзаменов.

задач.

       Задачи:  найти информацию  о Героне Александрийском; найти различные преобразования формулы Герона,  позволяющие упростить громоздкость вычислений; подобрать и решить задачи, применяя различные варианты формулы Герона;
сделать выводы из результатов исследования.

поэтому стал известен как Герон Александрийский. Современные историки предполагают, что он жил в 1-м веке н.э. где-то между 10-75 годами.
Наиболее известна "Метрика" Герона — научный труд, в котором приводится знаменитая формула Герона для определения площади треугольника по трем сторонам. 

Герон Александрийский

см

53 см

S=42 см²

S=1170 см²

треугольника со сторонами a, b и c; p — его полупериметр.
Доказать, что Доказательство:
Рассмотрим треугольник АВС, в котором АВ = с, ВС = а, АС = b.
Пусть А и В – острые углы треугольника АВС,
тогда основание Н высоты СН треугольника лежит на стороне АВ.
Введём обозначения СН= h, АН= y, HB=x.
По теореме Пифагора из ACH : h2 =b2-x2 и BCH: h 2 =a2-y2 , откуда



Так как , то
Сложив два последних равенства и разделив на 2, получим:
.

x

y

откуда и получаем: ,

где

y

x

она позволила без лишних затрат времени находить площадь треугольника со сторонами, выраженными иррациональными числами.

b .
Тогда справедлива теорема Пифагора .
Подставляя полученное выражение в формулу ,
имеем: формула для вычисления площади прямоугольного
треугольника через длины его катетов.
Если треугольник равнобедренный с основанием a и боковой стороной b,
то
Если треугольник равносторонний со стороной a ,
то из равенства , получаем .
Если не выполнено неравенство треугольника, то и все подкоренное выражение
отрицательно. К примеру, если (не выполнено неравенство
треугольника), то и треугольник не существует.

его площадь.
Решение: Пусть AB=3, AC= √13, BC=4
Первый способ. 
По теореме косинусов АВ2 = АС2 + ВС2 – 2АС · ВС · соsC, отсюда



Т. к. sin2C + cos2C = 1, то

S∆AВC = 

A

B D C

Пифагора из прямоугольных треугольников ABD и ACD:
AD2=AB2 –BD2= 9 − x‍ 2, AD2=AС2 –СD2= 13 − (4 − x)‍ 2,
‍ получим уравнение
9 − x‍ 2  = 13 − (4 − x)‍ 2
9 – x2 =13-16+8x- x2
x=1,5
  BD = x=1,5.
Следовательно, AD‍ 2  = AB‍ 2  − BD‍ 2  = 9-2,25=6,75;

A

B D C

и без формулы Герона, но это трудоемкий процесс и нужно знать специальные приемы решения. Причем модифицированная формула Герона удобна при решении задач, даже тогда, когда стороны треугольника  выражены иррациональными числами.
Итак, площадь треугольника по трем сторонам можно найти:
1)
сначала по теореме косинусов найти косинус какого – либо угла треугольника;
затем найти синус этого угла , а потом уже вычислить площадь треугольника по формуле
2)
выразить общий катет двух треугольников через одну переменную;
затем решить уравнение;
найти из прямоугольного треугольника высоту;
вычислить площадь по формуле
3) Применить формулу Герона.

равна 14. Найдите площадь трапеции.
Решение:

Пусть

- диагонали трапеции

,

- её основания, причём

.

Через вершину C проведём прямую,

Пусть

– точка пересечения этой прямой с прямой

Тогда

- параллелограмм,

,

Если

- высота трапеции, то

.

По формуле Герона

параллельную диагонали

Ответ:

которая имеет центр на средней стороне и касается двух других сторон

Решение:
Пусть AC = 13, AB = 14, BC = 15, O — центр указанной окружности (O на стороне AB), R — её радиус, P и Q — точки касания окружности со сторонами AC и BC соответственно.

По формуле Герона

SABC =

=

= 84.

Поскольку OP и OQ — высоты треугольников AOC и BOC, то

SABC = SAOC + SBOC =

AC . OP +

BC . OQ =

(AC + BC)R = 14R.

Следовательно, R =

=

= 6.

Ответ: 6.

для решения задач.
Для этого были рассмотрены задачи разного уровня сложности, в решении которых использовалась формула Герона, и ее модификация.
Получив модифицированную формулу, я не могла не оценить её преимущества:
во-первых, она дает значительный выигрыш во времени;
во-вторых, существенно облегчает вычисления при решении задач, что особенно важно, т.к. большинство учеников отказывается от использования данной формулы, когда даны иррациональные числа;
в-третьих, я сделала для себя удивительное открытие. Оказывается, что все формулы для вычисления площади треугольника, связаны с формулой Герона.
Считаю цель достигнутой, необходимость более детального изучения данной формулы актуально, так как умение вычислять площадь геометрических фигур нужно не только в школе для решения задач, но и в повседневной жизни.