Презентация, доклад к выступлению на НПК Две теоремы косинусов для четырёхугольников

изучением отдельных предметов Две теоремы косинусов для четырёхугольника

Автор:
Давыдович Антон Юрьевич,
учащийся 10Б класса
 
Руководитель:
Загородних Ольга Иосифовна,
учитель математики

п. Копьёво, 2014 г.

соотношения в четырехугольнике.
Гипотеза: для четырехугольника существуют теоремы, которые по аналогии с соответствующими теоремами для треугольника, называются теоремами косинусов.
Цели исследования: изучение теорем о метрических соотношениях в четырехугольнике.
Задачи исследования: изучить два доказательства первой теоремы косинусов для четырёхугольника, формулировку второй и доказательства некоторых следствий из второй теоремы.

трех других сторон без удвоенных произведений пар этих сторон и косинусов углов между ними. х 2=a2+b2+c2-2 ab cos β – 2bc cos γ - 2ac cos μ

Доказательство 1.

квадратов произведений его противоположных сторон без удвоенного произведения всех четырех сторон четырехугольника и косинуса суммы двух его противолежащих углов.
l2 f2 = a2 c2 +b2 d2 - 2 abcd cos φ, где φ- угол, равный сумме углов A и C или B и D.

Вторая теорема косинусов (теорема Бретшнейдера, 1843 г.), редко встречается в русской и иностранной учебной литературе по элементарной геометрии.

- 2 abcd cos φ.

1. Если сумма какой- либо пары противолежащих углов равна 90˚, то квадрат произведения диагоналей равен сумме квадратов произведений противолежащих сторон четырехугольника.
l2 f2 = a2 c2 +b2 d2.
2. В параллелограмме с острым углом, равным 45˚, квадрат произведения диагоналей равен сумме четверых степеней неравных сторон.
l2 f2 = a2 c2 +b2 d2,
при а = с и b = d l2 f2 = a4 + b4.

сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея). l f = ac + bd.

Во вписанном четырехугольнике
сумма углов А и С равна 180˚,
значит, (l f)2 = (ac)2 + (bd)2 + 2abcd,
или (l f)2= (ac + bd)2,
то есть l f = ac + bd.

l2 f2 = a2 c2 +b2 d2 - 2 abcd cos φ.