Презентация, доклад к уроку Теорема Пифагора

BC

Каково соотношение между сторонами этого треугольника?

АС = ½ BC.

Каково соотношение между сторонами этого треугольника?

AB = AC.

Можно ли выяснить равенство между катетами и гипотенузой?

Это соотношение доказал Пифагор в v׀ в. до н.э.

A

B

C

A

B

C

A

B

C

Проговорите полученное неравенство, используя названия сторон.

Гипотенуза меньше суммы катетов.

Проговорите полученное равенство словами.

Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

30°

²

²

²

=

<

AB + BC

Проговорите полученное равенство словами.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

О прямоугольном треугольнике.

О каких элементах идёт речь?

О катетах и гипотенузе.

Что требуется доказать?

Квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов.

Дано:

∆ ABC - прямоугольный;

Доказать:

A

B

C

∠A=90°;

AB, АC – катеты; BC -гипотенуза.

ВС² = AB² + AC²

Дано:

Доказать:

ВС² = AB² + AC²

Часто площадь рассматривается как вспомогательная величина. До какой фигуры нужно достроить треугольник, чтобы можно было бы выразить площадь двумя способами?

До квадрата.

Достройте на черновиках данный прямоугольный треугольник до квадрата.

A

B

C

Предложите способы вычисления площади квадрата.

Вычислить площадь квадрата по формуле.
Вычислить площадь как сумму площадей фигур, из которых составлен квадрат.

Разбейте на черновиках свой квадрат до фигур, площади которых можно найти.

Проанализируйте, какие фигуры получились, и какие элементы данного треугольника участвуют в вычислении их площадей

Какая фигура осталась и какие элементы данного треугольника могут помочь найти ее площадь?

Поиск способа доказательства

Проверьте теперь, так ли у вас получилось?

Образовался квадрат, сторона которого равна BC.

?

Составьте на черновиках равенство, которое отражает связь элементов данного треугольника. Совпадает ли она с требуемой?

Составьте план доказательства

1)

2)

3)

Доказать:

Дано:

ВС² = AB² + AC²

Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b.

Площадь S большого квадрата равна (a + b)².

С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ a·b, и квадрата со стороной с, поэтому

S=4·½ ab+c²=2ab+c²

Таким образом, (a + b)² = 2ab + c², откуда

c² = a² + b².

Изучите доказательство, предложенное в учебнике.

Задания:
1) Выделите этапы доказательства.

2) Какой приём используется при доказательстве?

1)

2)

3)

Приём «помогает площадь»

a

3) Какие утверждения, приведенные в доказательстве, требуют обоснований?

Почему?

Почему?

4) Какие свойства площади использовались при доказательстве?

1) равные фигуры имеют равные площади; 2) площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей

Доказать:

ВС² = AB² + AC²

Доказательство:

1. Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b.

2. а) По формуле площади квадрата S = (a + b)²

Задания:
Оформите доказательство теоремы.

Сравните свое оформление с представленным (выделили этапы, указали ли обоснования) и сделайте выводы для себя.

a

b

c

a

a

b

b

b

c

c

c

a

b

c

a

b

b

c

c

c

A

B

C

a

б) Квадрат состоит из четырёх равных (по двум катетам) прямоугольных треугольников и квадрата со стороной с (ромб, у которого угол равен 90°, является квадратом, 90°=180° - (∠1 + ∠2), поэтому S = 4 · (½ ab) + c².
3. (a + b)² = 2ab + c²; a² + 2ab + b² = 2ab + c²;
c² = a² + b²

∠ 1

∠ 2

Какую фигуру характеризует данный факт?

Прямоугольный треугольник.

Можно ли назвать данную теорему свойством прямоугольного треугольника.

Да, так как в условии теоремы идёт речь о прямоугольном треугольнике.

Какой приём помогает при доказательстве теоремы?

Приём «помогает площадь».

Применим данный алгоритм к решению задач.

Что надо найти на чертеже, сделанном по условию задачи, чтобы можно
было воспользоваться доказанным свойством прямоугольного треугольника?

Найти гипотенузу.
Найти катеты.
Записать соотношение: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Задача. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катетам a и b :

a=

6,

5,

b=

8.

6.

a

b

c

Нанесите данные на чертёж и решите задачу.

Решение:

с²= а² + b²

c=√(а² + b² )

c=√(36+64)=10

c=√(25+36)=√61

Ответ:

c=10

c=√61

Задача. Сделайте чертеж по условию задачи: в Δ МНК ∠Н=90°. Составьте соотношение сторон на основе теоремы Пифагора.

М

Н

К

МК2 = КН2 + МН2