Презентация, доклад к уроку геометрии в 8 классе по теме Параллелограмм

∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4

ВС = AD, АВ = СD

А

В

С

D

Дано: АВСD - параллелограмм

Доказательство: рассмотрим ∆ АВС и ∆ADC,

AC - общая,

1

2

3

4

АВ = СD, BC = AD

О – точка пересечения диагоналей

Доказать: ВО = ОD, АО = ОС

Доказательство:
рассмотрим ∆ АОВ и ∆СОD,

Следовательно: АО = ОС, ВО = ОD

O

АВ = СD (противоположные стороны параллелограмма,

2

∠D + ∠C = 180° ,

∠А + ∠B = 180° ,

∠В + ∠C = 180°

АВСD – четырехугольник,
АВ = CD, АВ ∥ CD

АВСD – параллелограмм

Доказательство

∆ АBC = ∆ACD – по двум сторонам и углу между ними
(АС – общая, АВ = СD – по условию, ∠1 = ∠ 2 как накрест лежащие при АВ ∥ СD и секущей АС.
Поэтому ∠3 = ∠ 4.

1

2

3

4

Но ∠3 и ∠ 4 – накрест лежащие углы при пересечении прямых
ВС и AD секущей – АС. Следовательно ВС∥ AD.

Таким образом, если в четырехугольнике противоположные
стороны параллельны, то этот четырехугольник АВСD -
параллелограмм.

АВСD – четырехугольник,
АВ = CD, ВС = АD

АВСD – параллелограмм

Доказательство

∆ АBC = ∆ACD – по трем сторонам
(АС – общая, АВ = СD, ВС = АD – по условию).

Поэтому ∠1 = ∠ 2 как накрест лежащие при секущей АС.
Отсюда следует, что АВ ∥ СD.

Проведем диагональ АС.

Так как АВ ∥ СD и АВ = СD, то по признаку 1 четырехугольник АВСD – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).

АВСD – четырехугольник,
ВО = ОD, АО = ОС

АВСD – параллелограмм

Доказательство

Рассмотрим треугольники
∆ АОB и ∆CОD:

∆ АОB = ∆CОD – по первому признаку равенства треугольников
(ВО = ОD, АО = ОС – по условию, ∠ АОB = ∠ CОD – как вертикаль.)

Поэтому АВ = CD и ∠1 = ∠2.

Из ∠1 = ∠2 следует, что АВ ∥ CD.

Так как в четырехугольнике АВСD стороны АВ = CD и АВ ∥ CD, то по 1 признаку четырехугольник АВСD – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).

1. ∠BАC = ∠ACD, ∠CAD =∠BCA – по
условию, АС – общая;

следовательно ∆ АBC = ∆ACD – по
стороне и двум прилежащим углам;
поэтому ВС = AD.

2.Так как ∠BАC = ∠ACD – накрест лежащие углы при
параллельных прямых ВС, AD и секущей - АС, то ВС ∥ AD.

3.Так как ВС = AD и ВС ∥ AD, то по 1-му признаку параллелограмма АВСD – параллелограмм, что и требовалось доказать.

Задача