Презентация, доклад к уроку геометрии на тему Векторы в пространстве (11 класс)

векторы
Правило параллелепипеда
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Математический диктант
Контрольный тест

а какой – концом, называется вектором.




Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым.
ТТ – нулевой вектор ( ТТ = О)

А

В

С

D

T

a) обозначается так: АВ ( a ).
Длина нулевого вектора считается равной нулю: 0 =0

А

В

или на параллельных прямых.





















Два ненулевых вектора ОР и КМ коллинеарны и при этом лучи ОР и КМ соноправлены
Векторы ОР и КМ называются соноправленными
Если лучи не являются соноправленными, то векторы называются противоположно направленными.

Нулевой вектор считается соноправленным с любым вектором.
ОР КМ; CD КМ ; TL AB ; CD OP

А

В

С

D

К

М

F

L

T

O

P

АЕ = DK, так как АЕ DK и АЕ = DK , а АВ = DC, так как АВ DC.

A

B

D

N

K

E

C

M

один.
Доказательство. В самом деле, пусть а – данный вектор, М – данная точка. Проведем через начало и конец вектора а и точку М плоскость и в этой плоскости построим вектор MN = a. Очевидно, что вектор MN искомый. Из построения ясно также, что MN – единственный вектор с началом М, равный вектору а.

а

М

N

имеет место равенство
АВ + ВС =АС

А

С

В

а

а

b

b

a + b

а

b

A

C

B

a

b

a + b

+ b = b + a ( переместительный закон)
2) ( а+b ) + c = a + ( b + c ) ( cочетательный закон )

Правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов

а

а + в

b

a

b

противоположно направлены. Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор.


АВ и ВА - противоположные векторы

А

В

вектором b равна вектору а.
Разность а - b векторов а и b можно найти по формуле а - b = a + (-b) , где
(-b) – вектор, противоположный вектору b.

а

b

- b

а - b

а

В

А

О

А

О

В

а

b

а - b

порядке они складываются.
Правило многоугольника.
Если А1 , А2, …, Аn - произвольные точки, то А1А2 + А2А3+…+Аn-1Аn = А1Аn




OC = a + b + c

O

C

A

B

a

b

c

такой вектор b, длина которого равна к * а , причем векторы а и b сонаправлены при к > 0 и противоположно направлены при к < 0.
Если а = 0, то b = 0.
Если к = 0, то b = 0.
Основные свойства
(kl)a = k(la) сочетательный закон
k( a + b ) = ka + kb I распределительный закон
( k + l )a = ka + la II распределительный закон

Если а и b коллинеарны и а = о, то существует к, что b=ka.

той же точки они будут лежать в одной плоскости.
На рисунке векторы ВВ1, ОD и ОЕ компланарны, так как если отложить от точки О вектор, равный ВВ1 , то получится вектор ОС, а векторы ОС, ОD и ОЕ лежат в одной плоскости ОСЕ. Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор ОС не лежит в плоскости ОАВ.

а

b

c

B1

D

C

B

O

A

E

и b, т.е. представить в виде с = ха + уb, где х и у – некоторые числа, то векторы а, b и с компланарны.
Доказательство.
Будем считать, что векторы а и b не коллинеарны. Отложим от произвольной точки О векторы ОА=а и ОВ= b. Векторы ОА и ОВ лежат в плоскости ОАВ. Очевидно, в этой же плоскости лежат векторы ОА1=х*ОА и ОВ1=у*ОВ, а следовательно, и их сумма – вектор ОС= х*ОА + у*ОВ, равный вектору с. Итак, векторы ОА=а, ОВ= b и ОС=с лежат в одной плоскости, т.е. векторы а, b и с компланарны.
Справедливо и обратное утверждение : если векторы а,
b и с компланарны, а векторы а и b не коллинеарны, то вектор с можно разложить по векторам а и b, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

В1

А1

С

а

b

ОА1=х*ОА

ОВ1=у*ОВ

ОС= х*ОА + у*ОВ

В

А

точки О пространства векторы ОА=а, ОВ=b, ОC=с и построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были его ребрами. Тогда диагональ ОD этого параллелепипеда изображает сумму векторов а, b и с : ОD = а + b + с. Действительно, ОD = ОЕ + ЕD = (ОА + АЕ) + ЕD= ОА + ОВ + ОC = а + b + c

а

b

B1

C

B

O

E

D

c

A

р = ха + уb + zc, где x, y и z – некоторые числа, то говорят, что вектор р разложен по векторам а, b и с. Числа х, у, z называются коэффициентами разложения.
Теорема.
Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Доказательство.
Пусть а, b и с – данные некомпланарные векторы. Докажем сначала, что любой вектор р можно представить в виде р = ха + уb + zc.
Отметим произвольную точку о и отложим от этой точки векторы:
ОА=а, ОВ=b, OC=c, OP=p.
Через точку Р проведем прямую, параллельную прямой ОС, и обозначим через точку Р1 точку пересечения этой прямой с плоскостью АОВ. Затем через точку Р1 проведем прямую, параллельную прямой ОВ, и обозначим через точку Р2 точку пересечения этой прямой с прямой ОА.

По правилу многоугольника ОР = ОР2 + Р2 Р1 + Р1Р.
Векторы ОР2 и ОА, Р2 Р1 и ОВ, Р1Р и ОС коллинеарны, поэтому существуют числа х,у и z такие, что

ОР2 = х* ОА, Р2 Р1 = у*ОВ, Р1Р= z* OC. Подставив эти выражения в равенство ОР = ОР2 + Р2 Р1 + Р1Р, получим ОР = х* ОА + у*ОВ + z* OC. Отсюда, учитывая равенства
ОА=а, ОВ=b, OC=c, OP=p, приходим к р = ха + уb + zc.
Докажем теперь, что коэффициенты разложения в формуле определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разложением имеется и другое разложение вектора р: р – х1а + у1b + z1c. Вычитая это равенство из равенства р = ха + уb + zc и используя свойства действий над векторами, получаем : 0 = (х - х1 )а + (у - у1)b + ( z - z1)c. Это равенство выполняется только тогда, когда х - х1 = 0, у - у1 =0, z - z1 = 0. Коэффициенты разложения определяются единственным способом. Теорема доказана.

С

с

О

Р

р

В

Р2

а

А

b

P1

параллелепипеда, равный сумме векторов : а)АВ + A1D1 + СA1; б) СA1 + АD + D1 С1.
Найдите вектор, равный: а) АD - С1D1 - ВВ1 ; б) АВ - АA1 - С1В1
Представьте вектор ВС1 в виде разности двух векторов, один из которых вектор ВD1; вектор D1В.
Упростите выражение: а) MN – PQ – NM + RQ + TR; б) LP + MS + EN – MN – PL + ST
Упростите выражение: а) 3( a + b ) – 4( 2a – b ) + a; б) m + 3( 2m – n) – 2( m – 4n)

вершинах параллелепипеда, равный:
а) A1В1 + ВС + DD1 + СD а) В1С +АВ +ВВ1 + В1А
б) АВ - СС1 б) DС - ВВ1

2. Дан тетраэдр DАВС. Точка М – середина ребра ВС, точка N - середина отрезка DМ. Выразите вектор AN через вектора а=АВ, b=АС и с=AD ( I вариант)
Дан тетраэдр DАВС. Медианы треугольника BDC пересекаются в точке Р,К – середина отрезка АР. Выразите вектор ВК через векторы а=АВ, b=Ас и с=AD (II вариант).
3. В параллелепипеде АВСDA1В1С1D1 медианы треугольника АВD пересекаются в точке Р. Разложите вектор В1Р по векторам а = В1А, b = В1С, c = В1В (I вариант).
В параллелепипеде АВСDA1В1С1D1 точка О лежит на отрезке В1D1, причем В1О : ОD1 = 2 :1. Разложите вектор АО по векторам а=АВ1 , b = АD1, c= A1А (II вариант).