Презентация, доклад к уроку 7 класс. Геометрия Параллельные прямые

различные взгляды.

одноименные проекции параллельны между собой. Действительно, проецирующие плоскости R и Q, проведенные через параллельные прямые АВ и СD, параллельны между собой. С плоскостью проекций П 1 они пересекаются по параллельным прямым a1 b1 и с1d1 - проекциям прямых АВ и СD на плоскости П1. Однако из параллельности проекций не всегда следует параллельность прямых. Для прямых общего положения условия параллельности следующие:

проекций, то прямые параллельны.

параллельны одной из осей проекций , то прямые параллельны при условии параллельности одноименных проекций на той плоскости проекций, которой параллельны прямые. (рис. 2.16).

прямых. Они выражены в Евклидовой геометрии, а так же в геометрии Лобачевского.

лежат в одной плоскости либо совпадают, либо не пересекаются.

«Начал». Вот как звучит пятый постулат:

с третьей прямой внутренние односторонние углы α и β, сумма величин которых меньше двух прямых углов (т.е. меньше 1800 ), то эти две прямые обязательно пересекаются, причём именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы α и β (составляющие вместе менее 1800 ).

a

b

α

β

учебниках его обычно заменяют на равносильную аксиому параллельности: к данной прямой через данную вне её точку можно провести не более одной параллельной прямой.

тому, что очень многие математики жившие после Евклида, старались исключить этот постулат из списка аксиом, то есть доказать его как теорему с помощью остальных аксиом Евклида. Дальше всего на этом поприще продвинулся Николай Иванович Лобачевский.

1792 года в Нижнем Новгороде в бедной семье мелкого чиновника. Лобачевский - автор ряда работ по математическому анализу, механике, физике и др. Он первым в России опубликовал курс высшей алгебры. Идеи Лобачевского повлияли на развитие русского авангарда - творчество В. Хлебникова, К. Малевича и др.

неверен, а остальные аксиомы справедливы, то есть рано или поздно надеялся прийти к противоречию.

А, не принадлежащую прямой b, можно провести более чем одну прямую, которая не пересекается с b. Пусть прямые a’ и a” не пересекаются с b. При их расположении, как на рисунке, будем поворачивать прямую a’ по часовой стрелке. Тогда найдется прямая с’, которая «в последний раз» не пересекается с b.

a”

a”

a’

a’

c’

P

b

А

часовой стрелке, будут пересекать прямую b, а прямые, получающиеся из c’ при малом повороте в обратном направлении, не будут пересекать b. Сама прямая c’ не пересекает b. Такая же картина наблюдается и для прямой c”, симметричной c’ относительно перпендикуляра AP, опущенного на b. Она отделяет пересекающие b прямые от непересекающих.

a”

a”

a’

c’

P

b

c”

А

причем c’ параллельна b вправо, а с” параллельна b влево. Прямые a’ и a” именуются расходящимися с прямой b.

a”

a”

c’

P

b

c”

А

с другом в сторону параллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг от друга.

a

b

общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они неограниченно удаляются друг от друга

a

b

c

пятый постулат Евклида. Однако противоречия в них не было.

c и берет на прямой b движущуюся точку М, удаляющуюся в сторону, обратную параллельности. В каждом положении точки М он выстраивает перпендикуляр p к прямой b до его пересечения с прямой с.

c

M1

M2

M3

b

когда она попадает в некоторое положение Q, длина перпендикуляра становится бесконечной. То есть перпендикуляр p в точке Q параллелен прямой c.

M1

M2

M3

Q

c

b

получим три прямые – b, c и c1, которые попарно параллельны друг другу.

c1

c

b

Q

p

параллельны друг другу, а вершин совсем нет (они находятся в бесконечности).

c1

c

b

Q

p

расположении прямых линий. Однако никакого противоречия и здесь не наблюдалось.

пятом постулате Евклида противоречия быть не может.

ещё и пятый постулат, то получается непротиворечивая геометрическая система – та евклидова геометрия, к которой мы так привыкли. Если же ко всем прочим аксиомам вместо пятого постулата мы добавим отрицание аксиомы параллельности, то получим другую геометрическую систему (Лобачевский назвал её «воображаемой» геометрией), которая, однако, тоже непротиворечива.

1824 г., но поддержки не нашел. Математики его времени еще не были подготовлены к мысли о возможности существование иной, неевклидовой геометрии. Учёный умер, так и не добившись признания своих идей.

ил.

Математика: Школьная энциклопедия. Гл. ред. С. М. Никольский. – М.: Большая Российская энциклопедия; Дрофа, 2007. – 527 с.: ил.

Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 2009 – 352 с.: ил.