Задача 2
- Главная
- Разное
- Образование
- Спорт
- Естествознание
- Природоведение
- Религиоведение
- Французский язык
- Черчение
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
Презентация, доклад к урокам геометрии 8 класс
Содержание
- 1. Презентация к урокам геометрии 8 класс
- 2. Анализ(Рис 10).Пусть золотой прямоугольник AEFD построен.
- 3. Построение (рис. 11): а)построим квадрат состороной а.
- 4. Доказательство. Докажем, что точка В делит отрезок
- 5. На прямоугольники, стороны которых соотносятся приблизительно как
- 6. Человеческое лицо, расположение анатомических частей которого удовлетворяет
- 7. рис.14 рис.15Если продолжить такие построения на одном чертеже,
- 8. Рис.16 Рис.17 Обратимся к правильному пятиугольнику ABCDF (рис. 17),
- 9. Отсюда
- 10. Таким образом доказано, что в правильном пятиугольнике
Анализ(Рис 10).Пусть золотой прямоугольник AEFD построен. AD ∕AE = φ.Отложим на стороне AE отрезок AB,равный AD.Поступив аналогично, получим точку C на стороне DF , таким образом имеем квадрат ABCD.Обозначим AD=a. Найдем середину M стороны
Слайд 1С помощью циркуля и линейки постройте прямоугольник с отношением сторон ,
равным ϕ, т. е. золотым прямоугольником.
Слайд 2Анализ(Рис 10).Пусть золотой
прямоугольник AEFD построен.
AD ∕AE =
φ.
Отложим на стороне AE отрезок AB,равный
AD.
Поступив аналогично, получим точку C на
стороне DF , таким образом имеем квадрат
ABCD.
Обозначим AD=a. Найдем середину M стороны АВ
квадрата ABCD . Соединим точки М и C.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BCM.
По теореме Пифагора:
MC²= a²+(a/2)²= 5/4 *a², Рис.10
Откуда MC=√5 /2 *a.
Заметим, что длина стороны AE золотого прямоугольника равна a/φ.
Но a/φ =√5 +1 /2 *a =√5/2*a + a/2.
Таким образом, задача сводится к построению сторон прямоугольника, одна из которых
равна а, а другая есть сумма отрезков длины которых √5/2 и а/2.
Отложим на стороне AE отрезок AB,равный
AD.
Поступив аналогично, получим точку C на
стороне DF , таким образом имеем квадрат
ABCD.
Обозначим AD=a. Найдем середину M стороны АВ
квадрата ABCD . Соединим точки М и C.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BCM.
По теореме Пифагора:
MC²= a²+(a/2)²= 5/4 *a², Рис.10
Откуда MC=√5 /2 *a.
Заметим, что длина стороны AE золотого прямоугольника равна a/φ.
Но a/φ =√5 +1 /2 *a =√5/2*a + a/2.
Таким образом, задача сводится к построению сторон прямоугольника, одна из которых
равна а, а другая есть сумма отрезков длины которых √5/2 и а/2.
Слайд 3Построение (рис. 11):
а)построим квадрат со
стороной а. обозначим
его ABCD;
б)найдем середину
М
отрезка AB;
в)проведем дугу окружности Рис.11
с центром в точке М,
радиуса МС, до пересечения с продолжением
стороны АВ в точке Е;
г)закончим построение прямоугольника AEFD.
отрезка AB;
в)проведем дугу окружности Рис.11
с центром в точке М,
радиуса МС, до пересечения с продолжением
стороны АВ в точке Е;
г)закончим построение прямоугольника AEFD.
Слайд 4Доказательство.
Докажем, что точка В делит отрезок АЕ в отношении «золотого
сечения». По теореме Пифагора
из треугольника МСВ:
MC²=MB² +BC²=(a/2)² +a² = 5/4 * a²
ME=MC по построению; ME =√5 /2 *a.
Тогда
AE=AM+ME=(1/2 *a) +( (√5) /2 *a)= ((√5)/2 +1/2)*a
= (((√5)+1)/2)*a,
Следовательно, AE=1/φ *AD; AD/AE=φ.
из треугольника МСВ:
MC²=MB² +BC²=(a/2)² +a² = 5/4 * a²
ME=MC по построению; ME =√5 /2 *a.
Тогда
AE=AM+ME=(1/2 *a) +( (√5) /2 *a)= ((√5)/2 +1/2)*a
= (((√5)+1)/2)*a,
Следовательно, AE=1/φ *AD; AD/AE=φ.
Слайд 5На прямоугольники, стороны которых соотносятся
приблизительно как 0,6 : 1, обратили
внимание очень,
давно. На рис. 12 дано изображение храма Парфенон в
Афинах. Даже сейчас, когда он стоит в развалинах, это
одно из самых красивых сооружений мира. Храм
построен в эпоху расцвета древнегреческой математики
и его красота основана на строгих математических
законах. Если фасад Парфенона вписать в
прямоугольник (рис. 13), то он окажется золотым
прямоугольником.
Рис.12 Рис.13
давно. На рис. 12 дано изображение храма Парфенон в
Афинах. Даже сейчас, когда он стоит в развалинах, это
одно из самых красивых сооружений мира. Храм
построен в эпоху расцвета древнегреческой математики
и его красота основана на строгих математических
законах. Если фасад Парфенона вписать в
прямоугольник (рис. 13), то он окажется золотым
прямоугольником.
Рис.12 Рис.13
Слайд 6 Человеческое лицо, расположение анатомических частей которого удовлетворяет пропорциям, описанным выше, может
быть вписано в золотой прямоугольник . Это прямоугольник ABCK. Если это оказалось возможным, то пропорции рассматриваемого лица могут считаться, по мнению М. Гика, близкими к идеальным.
В предыдущей задаче был построен золотой прямоугольник AEFD (рис. 11). Можно доказать, что прямоугольник BEFC - тоже золотой.
Доказательство (рис.11).
Так как AB=AD=EF, AD/AE=φ , то AE/AB=1/φ.
BE=AE-AB;
BE/EF=BE/AB=(AE-AB)/AB=(AE/AB)-1=(1/φ)-1=φ.
Таким образом доказано, что отсекая от золотого прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, мы снова получаем золотой прямоугольник.
В предыдущей задаче был построен золотой прямоугольник AEFD (рис. 11). Можно доказать, что прямоугольник BEFC - тоже золотой.
Доказательство (рис.11).
Так как AB=AD=EF, AD/AE=φ , то AE/AB=1/φ.
BE=AE-AB;
BE/EF=BE/AB=(AE-AB)/AB=(AE/AB)-1=(1/φ)-1=φ.
Таким образом доказано, что отсекая от золотого прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, мы снова получаем золотой прямоугольник.
Слайд 7
рис.14 рис.15
Если продолжить такие построения на одном чертеже, как это сделано на
рис. 14, и затем в
каждый из полученных квадратов вписать по четверти окружности, как это выполнено на
рис. 15, то получим изображение так называемой равноугольной или логарифмической спирали.
Равноугольная спираль, часть которой изображена на рис. 15, напоминает раковину улитки.
Красивая форма раковины обусловлена тем, что ее сегменты, представляющие собой дуги
окружностей, имеют разные размеры, но их форма одинакова. На примере раковины улитки мы можем увидеть соблюдение важного принципа ее строения: размеры отдельного элемента возрастают, а его форма не изменяется. Действительно, при росте раковины размеры ее секций растут, а форма остается прежней. Мы можем наблюдать, как ракушка становится шире и длиннее, сохраняя при этом те же пропорции. Равноугольную спираль также можно встретить в растительном мире (рис. 16).
каждый из полученных квадратов вписать по четверти окружности, как это выполнено на
рис. 15, то получим изображение так называемой равноугольной или логарифмической спирали.
Равноугольная спираль, часть которой изображена на рис. 15, напоминает раковину улитки.
Красивая форма раковины обусловлена тем, что ее сегменты, представляющие собой дуги
окружностей, имеют разные размеры, но их форма одинакова. На примере раковины улитки мы можем увидеть соблюдение важного принципа ее строения: размеры отдельного элемента возрастают, а его форма не изменяется. Действительно, при росте раковины размеры ее секций растут, а форма остается прежней. Мы можем наблюдать, как ракушка становится шире и длиннее, сохраняя при этом те же пропорции. Равноугольную спираль также можно встретить в растительном мире (рис. 16).
Слайд 8
Рис.16 Рис.17
Обратимся к правильному пятиугольнику ABCDF (рис. 17), Соединим его вершины через
одну.
Отметим точку M, как показано на рис.17.Докажем,что точка M является “золотым сечением”
отрезка BF.
Отметим точки N,P,O и K,как показано на рис.17.
Треугольники FMN и FBK подобны по двум углам: ∟MFN-общий, ∟FBK=∟FMN.Докажем
равенство углов ∟FBK и ∟FMN.
Рассмотрим ∆ABF. Он равнобедренный, так как AB=AF как стороны правильного
пятиугольника ABCDF. Так как ∟BAF=108°,как угол правильного пятиугольника, то
∟ABF=36°,как угол при основании равнобедренного ∆ABF.Аналогично доказывается , что
∟CBD=36°.
Отметим точку M, как показано на рис.17.Докажем,что точка M является “золотым сечением”
отрезка BF.
Отметим точки N,P,O и K,как показано на рис.17.
Треугольники FMN и FBK подобны по двум углам: ∟MFN-общий, ∟FBK=∟FMN.Докажем
равенство углов ∟FBK и ∟FMN.
Рассмотрим ∆ABF. Он равнобедренный, так как AB=AF как стороны правильного
пятиугольника ABCDF. Так как ∟BAF=108°,как угол правильного пятиугольника, то
∟ABF=36°,как угол при основании равнобедренного ∆ABF.Аналогично доказывается , что
∟CBD=36°.
Слайд 9 Отсюда ∟FBK =∟ABC –(∟ABF +∟CBD)=108°-(36°+36°)=36°.
Докажем
,что и ∟FMN=36°. Можно доказать, что MPNKO-правильный пятиугольник. Тогда ∟MPN=108° и MP=PN.
∆ MPN-равнобедренный и ∟PMN=36°.Легко увидеть, что
∟PMN=∟FMN=36°
Из подобия треугольников FMN и FBK следует, что FN:FK=FM:FB, но FN=MB а FK=FM и поэтому MB:FM=FM:FB. Иначе говоря ,точка M делит отрезок BF на две неравные части ,и меньшая часть так относится к большей, как большая часть - ко всему отрезку , т.е. точка M
является “золотым сечением” отрезка BF.
∆ MPN-равнобедренный и ∟PMN=36°.Легко увидеть, что
∟PMN=∟FMN=36°
Из подобия треугольников FMN и FBK следует, что FN:FK=FM:FB, но FN=MB а FK=FM и поэтому MB:FM=FM:FB. Иначе говоря ,точка M делит отрезок BF на две неравные части ,и меньшая часть так относится к большей, как большая часть - ко всему отрезку , т.е. точка M
является “золотым сечением” отрезка BF.
Слайд 10Таким образом доказано, что в правильном пятиугольнике каждая диагональ делится каждой
другой в отношении “золотого сечения”.
Кроме того , можно доказать, что сторона правильного пятиугольника равна большему отрезку диагонали , который отсекает на ней другая диагональ , т.е. AF=AN (рис.17).Это значит , что в остроугольном равнобедренном треугольнике ANF отношение основания NF к боковой
стороне AF равно коэффициенту “золотого сечения” φ. В тупоугольном равнобедренном треугольнике ABF отношение боковой стороны AF к основанию BF также равно коэффициенту “золотого сечения”φ.
В каждом из указанный случаев равнобедренные треугольники называют золотыми.
Кроме того , можно доказать, что сторона правильного пятиугольника равна большему отрезку диагонали , который отсекает на ней другая диагональ , т.е. AF=AN (рис.17).Это значит , что в остроугольном равнобедренном треугольнике ANF отношение основания NF к боковой
стороне AF равно коэффициенту “золотого сечения” φ. В тупоугольном равнобедренном треугольнике ABF отношение боковой стороны AF к основанию BF также равно коэффициенту “золотого сечения”φ.
В каждом из указанный случаев равнобедренные треугольники называют золотыми.
