Презентация, доклад к исследовательской работе Окружность, вписанная в многоугольники

Николаева Елизавета,
ученица 8«Б» класса ГБОУ СОШ №2
п.г.т. Усть-Кинельский Самарской области
Научный руководитель: Зенина Ольга Петровна
учитель математики ГБОУ СОШ №2
п.г.т. Усть-Кинельский Самарской области

Окружность,
вписанная в многоугольники

показать их применение в решении задач.

собрать теоретический материал о вписанных окружностях в многоугольники;
изучить различные способы решения задач с использованием свойств вписанной окружности в многоугольники;
сформировать сборник задач по теме исследования и для повторения материала и подготовке к итоговой аттестации.

ГБОУ СОШ №2, Николаева Е.

Задачи :

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.
Г. Галилей

сведений о вписанных окружностей в решении задач.
Актуальность выбранной темы обуславливается тем, что задачи на вписанные окружности в многоугольники предлагаются на олимпиадах, включаются как в первую, так и во вторую части экзаменационной работы ОГЭ и ЕГЭ.

ГБОУ СОШ №2, Николаева Е.

Гипотеза: Вписанная окружность обладает рядом интересных и полезных для решения задач свойствами. Если овладеть ими, то возникает объективная возможность для решения задач повышенной сложности.

СОШ №2, Николаева Е.

стороной, равной 17 см. Найдите основания трапеции .

ГБОУ СОШ №2, Николаева Е.

Решение. Высота трапеции равна диаметру окружности, значит, ВК = 15 см.
В прямоугольном треугольнике АВК по теореме Пифагора АВ2 = АК2 + ВК2. АК2 = АВ2 - ВК2 ,
АК = 8см.
∆АВК = ∆ CMD по гипотенузе и катету, значит,
АК = MD = 8см.
AD = АК + КМ + MD.
Пусть BС = х, тогда AD = 8 + х + 8 = х + 16.

Так как в трапецию вписана окружность, то
AD + ВС = АВ + CD, следовательно,
х + 16 + х = 17 + 17, х = 9.
Итак,
BС = 9 см, AD = 25 см.
Ответ: 9см и 25см.

Задачи контрольно-измерительных материалов ОГЭ

от ∆ ABC отрезок отсекает ∆ ANM, Р, Q, R, S – точки касания окружности и прямых.
OQMR и OPCS — квадраты, MQ = PC = r, NQ = NP
Значит, NM = NC. BN — биссектриса угла ABC.
∆NMB = ∆NCB по гипотенузе и катету.
По условию отношение катетов ∆ ABC равно 3 : 4.

Пусть CB = 3x, a СА = 4x, из теоремы Пифагора АВ = 5х,
AM = АВ – ВМ, АМ = 5x - 3x = 2x.
Из подобия треугольников AMN и АСВ получаем: СВ:MN=СА:АМ, (3х):6=(4х):(2х), х = 4.

В прямоугольном треугольнике радиус окружности равен
r = (АС + ВС – АВ) : 2,
r = (3х + 4х – 5х) : 2 = х.

Значит, искомый радиус равен 4.

Задачи контрольно-измерительных материалов ЕГЭ

∆ BNM, то, рассуждая аналогично, находим, что ВМ = 5x - 4x = x.
Из подобия ∆ АСВ и ∆NMB имеем:
CA:NM = СВ:МВ,
(4х):6 = (3х):х,
х = 4,5.
Тогда r = x = 4,5.
Итак, искомый радиус равен 4 или 4,5.
 

Задачи контрольно-измерительных материалов ЕГЭ

Тогда r = x = 4,5.

Ответ:  4 или 4,5.

ГБОУ СОШ №2, Николаева Е.

сумме диаметров вписанной и описанной окружностей.

ГБОУ СОШ №2, Николаева Е.

Решение. В ∆АВС
D, E, F – точки касания ,
СЕОF – квадрат, СЕ = ОF = r.
ВС + АС = AE + EC + BF + FC.

Значит, ВС + АС = AD + r + BD + r = 2R + 2r = D + d,
где D и d диаметры описанной и вписанной окружностей.

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности: AE = AD, BF = BD.

AD + BD = AB = 2R, где R – радиус описанной окружности.

Следовательно, сумма катетов равна сумме диаметров описанной и вписанной окружностей, что и требовалось доказать.

сложности, и возможности использования материалов исследования, компьютерной презентации при повторении курса и при подготовке к экзаменам.

Теоретическая значимость исследования состоит в систематизации геометрических фактов и свойств о вписанных окружностях в многоугольниках, создание буклета-памятки и комплекса задач.

Новизна исследования заключается в углубленном изучении теоретического материала по данной теме, заключительным этапом которого является составление комплекса задач об окружностях, вписанных в многоугольники.

Заключение

ГБОУ СОШ №2, Николаева Е.

разработчиков ОГЭ/ И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2018. – 303 с., (Серия «ОГЭ. 50 вариантов.Тесты от разработчиков»).
Готман Э.Г. задачи по планиметрии и методы их решения: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение: АО «Учеб.лит.», 1996. – 240 с.
ЕГЭ 2016. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2(С) / Под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Издательство «Экзамен, 2016. – 215 с», (Серия «ЕГЭ. Типовые тестовые задания»).
Единый государственный экзамен 2014. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся/ ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2014
Курсов В.А. Сборник задач школьных математических олимпиад ( учебно методическое пособие для учащихся и учителей математики). СИПКРО, Самара, 1993 – 73 с.
ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2015. – 224 с. – (ОГЭ. ФИПИ - школе)
Олимпиадные задания по математике. 9 класс / авт. сост. С.П. Ковалёва. – Волгоград: Учитель, 2005. – 85 с.
Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 класссах. Кн. Для учителя, М.: Прсвещение, 1987. – 224с
Шарыгин И.Ф. сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами/ И.Ф. Шарыгин, Р.К. Гордин. – М.: ООО «Издательство Астрель»»: ООО «Издательство АСТ», 2001. – 400 с.: ил.

http://school.umk-spo.biz/gia/forum/prlgrm/vprvp
https://shkolkovo.net/catalog/planimetriya_chast_ii/okruzhnost_vpisannaya_v_mnogougolnik
http://2mb.ru/matematika/geometriya/radius-vpisannoj-okruzhnosti-v-romb
http://files.school-collection.edu.ru/
http://www.ege.edu.ru

ГБОУ СОШ №2, Николаева Е.

своей презентации вы должны указать
источник шаблона:

Ранько Елена Алексеевна
учитель начальных классов
МАОУ лицей №21
г. Иваново

Сайт: http://pedsovet.su/