Презентация, доклад на тему Параллелограмм. Его свойства и признаки.

математики МБОУ лицей №4 Шеляг Наталья Владимировна

то есть лежат на параллельных прямых.

A

B

D

C

бы один угол равен 90°

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

 Квадрат- параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

одной стороне, равна 180°.
 ∠A= ∠C ∠B= ∠D

α

β

α+β=180°

1

4

∠1+∠2+∠3+∠4=360º

его диагонали пересекаются в точке O. Так как Δ AOB = Δ COD по первому признаку равенства треугольников (∠ AOB = ∠ COD, как вертикальные, AO=OC, DO=OB, по свойству диагоналей параллелограмма), то AB=CD. Точно также из равенства треугольников ВОС и DOA, следует что BC=DA. Теорема доказана. 

A

B

C

D

O

||

||

|

|

 Свойство противолежащих сторон параллелограмма.

параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O. Из доказанного в теореме о свойства противолежащих сторон параллелограмма Δ ABC = Δ CDA по трем сторонам (AB=CD, BC=DA из доказанного, AC – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ ABC = ∠ CDA. Так же доказывается, что ∠ DAB = ∠ BCD, которое следует из ∠ ABD = ∠ CDB. Теорема доказана.

O

A

B

C

D

2 + BD 2 = 2(AB 2 + BC 2)

этот четырехугольник – параллелограмм. 

четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм. 

– это рамы велосипедов, мотоциклов, где для жёсткости проведена диагональ.

сторону параллелограмма на отрезки 7 и 14.

Решение
Пусть ABCD — данный параллелограмм, AK — указанная биссектриса, BK = 7, KC = 14.
Поскольку ∠BKA = ∠KAD = ∠BAK, то треугольник ABK — равнобедренный(свойство параллелограмма). Поэтому AB = BK = 7, BC = BK + KC = 21.Следовательно, периметр параллелограмма равен 2(7 + 21) = 56.

A

B

C

D

K

параллелограмма на отрезки 7 и 14.

A

B

C

D

K

Решение
Пусть ABCD — данный параллелограмм, AK — указанная биссектриса, BK = 14, KC = 7.
Поскольку ∠BKA = ∠KAD = ∠BAK, то треугольник ABK — равнобедренный(свойство параллелограмма). Поэтому AB = BK = 14, BC = BK + KC = 21.Следовательно, периметр параллелограмма равен 2(14+ 21) = 70.

части прямыми, выходящими из одной вершины.

Проведём из данной вершины диагональ параллелограмма. Она разбивает параллелограмм на два равных, а значит, и равновеликих треугольника. Медиана каждого из этих треугольников, проведённая из данной вершины, делит его на два равновеликих треугольника.

A

B

С

D

H

M

известно, что одна его сторона в 3 раза больше другой 

A

B

С

D

Решение.  У параллелограмма противоположные стороны равны, обозначим их как а и b, тогда периметр будет равен: Р = 2(а+b).  Пусть х - это сторона а, тогда  b=3х.  2(х+3х)=16  2*4х=16  х=2  значит сторона а=2, а сторона b=6

со сторонами AD и DC углы по 60 градусов. Определите углы и периметр параллелограмма ABCD.  Дополнительно: определите вид четырехугольника ABMD, где точка M - середина DC, определите углы четырехугольника ABMD. 

Решение.  Поскольку нам дана величина угла ADB (диагональ параллелограмма образует со сторонами AD и DC углы по 60 градусов), то величина угла DBC также равна 60 градусов, поскольку противоположные стороны параллелограмма параллельны, соответственно диагональ является секущей для двух параллельных прямых AD и BC, а для любой секущей внутренние накрест лежащие углы равны.  Таким образом, в треугольнике BCD нам известны два угла из трех, и они оба равны 60 градусов. Соответственно, поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов, то угол BCD также равен 60 градусам, из чего следует, что треугольник BCD - равносторонний.  Поскольку треугольник BCD - равносторонний, то BC = CD = BD = 6 см.  Таким образом, поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, периметр его равен 24 см. Параллелограмм является ромбом.  Дополнительно:  Поскольку точка М лежит на стороне CD, то AB и MD - параллельны, следовательно, ABMD - трапеция.  Угол DAB трапеции равен 60 градусов, исходя из решения, изложенного выше, как угол параллелограмма.  Угол ADM равен 120 градусов, так как по условию диагональ BD образует со сторонами AD и DC углы по 60 градусов, а ADM равен сумме данных углов.  Поскольку по условию точка M - середина DC, CM = MD. Значит BM - медиана треугольника DBC. Как указано выше, треугольник DBC - равносторонний, а в равностороннем треугольнике медиана является, одновременно, биссектрисой и высотой. Значит, угол DBM равен половине угла DBC и равен 60 / 2 = 30 градусов. Откуда угол ABM = 60 + 30 = 90 градусов. Поскольку BM - высота, то BMD равен также 90 градусов. Исходя из сказанного,  ABMD - прямоугольная трапеция.  Ответ: 24 см. 60º, 90º, 90º, 120º - прямоугольная трапеция.