Презентация, доклад на тему Неевклидовы геометрии

2016 год

их обобщения. Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением, привели к созданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построения оставались в рамках аксиоматического подхода Евклида. «Начала» Евклида служили на протяжении
более 2000 лет образцом строгого
дедуктивного изложения геометрии.

от аксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию, определив таким образом путь дальнейшего развития науки и создания новых теорий. Эта геометрия существенно отличается от евклидовой, например, в ней утверждается, что через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной прямой, что сумма углов треугольника меньше 180°. В геометрии Лобачевского не существует прямоугольников, подобных треугольников и так далее. Неевклидова геометрия появилась вследствие долгих попыток доказать V постулат Евклида, аксиому параллельности. Эта геометрия во многом удивительна, необычна, но в логическом отношении данная геометрия не уступает геометрии Евклида.

из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Его главная работа «Начала».
Постулаты Евклида представляют собой правила построения с помощью идеального циркуля и идеальной линейки (рис.1):
I. Всякие две точки можно соединить прямой линией;
II. Ограниченную прямую линию можно неограниченно продолжить;
III. Из всякого центра всяким радиусом можно описать окружность;
IV. Все прямые углы равны между собой;
V. Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых. Другая формулировка пятого постулата (аксиомы параллельности), гласит: Через точку вне прямой в их плоскости можно провести не более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

Евклида. Его нежелание использовать "несамоочевидный" пятый постулат следует хотя бы из того, что свои первые двадцать восемь предложений Евклид доказывает, не прибегая к этому постулату.
С первого века до н.э. до 1820 математики пытались вывести пятый постулат из остальных, но преуспели лишь в замене его различными эквивалентными допущениями, такими, как "две параллельные линии всюду равно удалены друг от друга" или "любые три точки, не расположенные на одной прямой, принадлежат окружности".

который начал свои исследования с так называемого четырехугольника Саккери, т.е. с четырехугольника BCED, у которого BC = DE, а углы при вершинах C и E прямые. Заметив, что углы при вершинах B и D обязательно равны, Саккери рассмотрел поочередно три гипотезы: верхние углы четырехугольника тупые, прямые и острые. Он доказал, что любая из этих гипотез, если ее принять для какого-нибудь одного такого четырехугольника, остается в силе для всех таких четырехугольников. Саккери намеревался обосновать гипотезу о том,
что верхние углы прямые,
доказав, что любая другая гипотеза
приводит к противоречию.

себя возможности открыть эллиптическую геометрию), поскольку, как и все геометры до 1854, рассматривал второй постулат как утверждение о том, что прямая имеет бесконечную длину, и отказываться от этого постулата он не хотел. Точно также Саккери в конце концов отверг и гипотезу об остром угле, но прежде, чем принять это ошибочное решение, он, сам того не ведая, открыл многие теоремы геометрии, получившей впоследствии название гиперболической.

углами при вершинах C и E. Евклидова геометрия требует, чтобы углы B и D также были прямыми. В эллиптической геометрии эти углы - тупые, а в гиперболической - острые.

Он первым подошел к проблеме с современной точки зрения, согласно которой геометрию, отрицающую пятый постулат, надлежит развивать ради нее самой, не ожидая, что при этом возникнет какое-то противоречие. Письма Гаусса к друзьям говорят о том, что к 1816 он преодолел традиционный предрассудок относительно неизбежности противоречия и развил "антиевклидову" геометрию, удовлетворяющую гипотезе Саккери об остром угле.

К. Гаусс

самым позволил разделить честь открытия гиперболической геометрии (примерно в 1825) венгру Яношу Бояй (1802-1860) и русскому Н. И. Лобачевскому (1793-1856). Бояй опубликовал свою работу до того, как услышал о Лобачевском, а последний, судя по всему, так никогда и не узнал об исследованиях Бояй.
В 1854 Б. Риман (1826-1866) заметил, что из неограниченности пространства еще не следует его бесконечная протяженность. Смысл этого утверждения станет яснее, если представить, что в неограниченной, но конечной вселенной астроном в принципе мог бы увидеть в телескоп, обладающий достаточно высокой разрешающей способностью, свой собственный затылок (если отвлечься от небольшой детали, связанной с тем, что свет, отраженный от затылка, достиг бы глаза астронома через тысячи миллионов лет).

Янош Бояй

больше внутреннего угла при любой из двух остальных вершин, Евклид неявно использовал бесконечную длину прямой. Из этой теоремы тотчас же следует теорема о том, что сумма любых двух углов треугольника меньше суммы двух прямых углов. Если отказаться от бесконечной длины прямой, то гипотеза Саккери о тупом угле становиться верной и из нее следует, что сумма углов треугольника больше суммы двух прямых. Такое положение дел было давно известно в сферической тригонометрии, где стороны треугольника являются дугами больших кругов. Риман внес эпохальный вклад, распространив представление о конечном, но неограниченном пространстве с двух на три и большее число измерений.

Бернхард Риман

что этот постулат не зависит от других аксиом евклидовой геометрии, и поэтому доказать его нельзя.
Но если V постулат не зависит от других аксиом, то , допуская все другие аксиомы (абсолютной геометрии), можно принять или не принять евклидов постулат. Если же вместо евклидовой аксиомы параллельности принять другую, ей не эквивалентную, получим новую, неевклидову геометрию. Лобачевский и сформулировал новую аксиому параллельных: «Через точку вне прямой можно провести не только одну прямую, не встречающую данной прямой, а по крайней мере две».

Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) русский математик, один из создателей неевклидовой геометрии, деятель университетского образования и народного просвещения.

которая оказалась так же логически безупречной, правильной, как и геометрия Евклида.

Аксиома Лобачевского нам кажется на первый взгляд странной, так как противоречит нашим установившимся геометрическим представлениям. Однако при более глубоком анализе вопроса нужно признать, что в отличие от других аксиом, касающихся фигур ограниченных размеров, аксиома параллельности Евклида относится к неограниченной прямой и никогда не может быть проверена с помощью непосредственного эксперимента, который может быть проведен лишь в ограниченной части пространства. Если, например, взять угол NCL достаточно малым, то отрезки CL и АВ не пересекутся даже на расстоянии, выходящем за пределы нашей планеты. И вот как раз в пределах ограниченной части плоскости можно провести через данную точку множество прямых, не пересекающих данной прямой.

Рис. 1

через точку С и не встречающих «прямой» АВ, например CL, CM и др.

Рис. 2

не встречают прямой АВ, то и любая прямая СМ, проходящая через точку С внутри вертикальных углов NCL и N`CL`, также не встретит прямой АВ (рис. 1 ,2). Отсюда первое следствие аксиомы Лобачевского: через точку С вне прямой АВ плоскости АВС проходит бесчисленное множество прямых, не пересекающихся с прямой АВ.

АВС две прямые, параллельные прямой АВ, в одну и другую сторону этой прямой. Все прямые, проходящие внутри вертикальных углов, образованных параллельными прямыми LL`, GG` (в том числе и евклидова «параллельная» N`N), расходятся с АВ; все остальные прямые , проходящие через точку С сходятся с прямой АВ. Следовательно, а) две прямые как АВ и N`N, имеющие общий перпендикуляр CD, расходятся; б) если вращать прямую N`N около точки С, допустим по часовой стрелке, а прямую АВ около точки D в том же направлении так, чтобы углы, образованные этими прямыми с пересекающей их прямой CD, оставались равными, то прямые АВ и N`N остаются расходящимися, т.е. две прямые, образующие при пересечении с третьей прямой равные соответственные углы, расходятся.

Рис. 3

параллельности. Прямая СЕ параллельна прямой АВ в направлении или в сторону от А к В; прямая CF параллельна той же прямой АВ в направлении или в сторону ВА (от В к А. Рис. 4).

Рис. 4

треугольника меньше 180º
3. Сумма углов четырехугольника меньше360º
4. Внешний угол треугольника больше суммы внутренних, с ним не смежных углов.
5. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны между собой. Это четвертый признак равенства треугольников в геометрии Лобачевского. Отсюда ясно, что в геометрии Лобачевского нет подобных фигур.
6. площадь треугольника прямо пропорциональна его угловому дефекту.

век, что не могли быть понятыми даже крупными математиками того времени. Когда же «неевклидова геометрия» (геометрия Лобачевского) привлекла к себе внимание многих математиков, произведения Лобачевского, Бояй были переведены на многие языки.

для неевклидовой геометрии, показав в своей работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии» (1868), что наряду с плоскостями, на которых осуществляется евклидова геометрия, и сферическими плоскостями, на которых действуют формулы сферической геометрии, существуют и такие реальные поверхности, названные им псевдосферами (рис.9), на которых частично осуществляется планиметрия Лобачевского.

многие аксиомы и теоремы неевклидовой планиметрии Лобачевского. Псевдосферу назвали интерпретацией неевклидовой геометрии на плоскости.

было развитие новых, неевклидовых геометрий, в первую очередь геометрии Римана, называемой также эллиптической геометрией. В качестве модели планиметрии Римана может служить сфера, если считать каждую пару диаметрально противоположных ее точек за одну «точку».

но имеются так называемые большие окружности (рис. 5), т. е. окружности с центром в центре сферы, которые в качестве геодезических ее линий выполняют на сфере ту же роль, что и прямые на плоскости. Дуги больших окружностей дают кратчайшее расстояние между двумя точками сферы, через которые они проходят, подобно тому как отрезок прямой на плоскости представляет кратчайшее расстояние между двумя точками сферы, через которые они проходят, подобно тому как отрезок прямой на плоскости представляет кратчайшее расстояние между его концами; через две точки сферы проходит одна и только одна большая окружность, подобно тому как две точки плоскости определяют одну и только одну прямую; из дуг больших окружностей на сфере, как из отрезков прямых на плоскости, можно образовать сферические треугольники, четырехугольники, многоугольники.

Рис. 5

Однако наряду с некоторыми сходствами имеется большое различие между сферической геометрией, с одной стороны, и геометриями Евклида и Лобачевского — с другой. Аксиомы, следовательно, и теоремы и формулы сферической геометрии во многом отличаются от аксиом, теорем и формул плоской геометрии Евклида, а также Лобачевского. В частности, прямые Римана все замкнуты и конечны, имея одну и ту же длину. Сумма углов сферического треугольника, как известно, больше 2d; каждые две прямые имеют одну общую точку, т. е. на римановой плоскости нет параллельных прямых.
В разработку эллиптической геометрии значительный вклад внес Гаусс своими исследованиями о поверхностях.

Рис. 6

началах геометрии» появились в свет и другие произведения Лобачевского по неевклидовой геометрии: «Воображаемая геометрия» (1835), «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836), «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (опубликованные в «Ученых записках Казанского университета» в 1835-1838 гг.), «Геометрические исследования по теории параллельных» (опубликованы впервые в 1840 г. В Берлине на немецком языке).

Гауссом и Риманом и развитые в трудах многих других ученых, стали в наши дни необходимым аппаратом для изучения механики, физики и астрономии. Особенно важна геометрия Лобачевского для теории относительности. Открытие неевклидовой геометрии привело к новым исследованиям в области оснований геометрии.

роль в развитии новых идей и методов в математике и естествознании, но имеет и большое философское значение. Открытие неевклидовой геометрии доказало, что нельзя абсолютизировать представления о пространстве, что «употребительная» (как называл Лобачевский геометрию Евклида) геометрия не является единственно возможной, однако это не подорвало незыблемость геометрии Евклида. Итак, в основе геометрии лежат не априорные, врожденные уму понятия и аксиомы, а такие понятия, которые связаны с деятельностью человека, с человеческой практикой. Только практика может решить вопрос о том, какая геометрия вернее излагает свойства физического пространства. Открытие неевклидовой геометрии дало решающий толчок грандиозному развитию науки, способствовало и поныне способствует более глубокому пониманию окружающего нас материального мира.