Презентация, доклад на тему Исследовательский проект по геометрии Теорема Пифагора

математическая книга
Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом
треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

"Если прямой угол разложить на составные части,
то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5,
когда основание есть 3, а высота 4".

В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним
из чертежей индусской геометрии Басхары.

4 ² = 5²

было известно уже египтянам еще около
2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I.

По мнению Кантора гарпедонапты, или
"натягиватели веревок", строили прямые углы при
помощи прямоугольных треугольников со
сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения.
Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной
полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого .
Прямой угол окажется заключенным между сторонами
длиной в 3 и 4 метра.

тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е.
к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление
гипотенузы прямоугольного треугольника.
Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели
производить вычисления с прямоугольными треугольниками,
по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной
стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и
вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении
греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик)
сделал следующий вывод:

"Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес,
Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики,
но ее систематизация и обснование.
В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных
представлениях, превратились в точную науку."

и немецкого языков.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над
прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".


Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ),
сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.),
в переводе на русский гласит:

"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный
на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух
квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих
прямой угол".

так :

"Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же
велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его,
примыкающим к прямому углу".


В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном
Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:

"В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны,
противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон,
содержащих прямой угол".

Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвопринашенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя ,вслед.

Они не в силах свету помешать ,
А могут лишь закрыв глаза дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.

В самом деле, достаточно просто посмотреть
на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников ,
чтобы убедиться в справедливости теоремы.
Например, для треугольника ABC : квадрат,
построенный на гипотенузе АС, содержит 4
исходных треугольника, а квадраты,
построенные на катетах,- по два.

Теорема доказана.

построенные на катетах и на
гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата,
построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из
квадратов, построенных на катетах:

Доказательство Эпштейна
Доказательство Нильсена.
Доказательство Бетхера .
Доказательство Перигаля.
Доказательство Гутхейля.

так, чтобы в одном случае остались два квадрата,
построенные на катетах, а в другом- квадрат,
построенный на гипотенузе. Ведь если в равенствах

В-А=С и В1-А1=С1
часть А равновелика части А1, а часть В равновелика В1,
то части С и С1 также равновелики.

снизу треугольники 2 и 3, равные исходному
треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C.
Теперь шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.
Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2,
то останутся квадраты, построенные на катетах, а если
от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3,
то останется квадрат,построенный на гипотенузе. Отсюда
вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик
сумме квадратов,построенных на катетах.

Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики.
Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на
равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем
шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий
половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке
на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK,
составляющим половину шестиугольника CAJKHB.
Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.

нам чертеж теоремы
Пифагора заключим в прямоугольную рамку,
направления сторон которой совпадают с
направлениями катетов треугольника.
Продолжим некоторые из отрезков фигуры так,
как указано на рисунке, при этом прямоугольник
распадается на несколько треугольников,
прямоугольников и квадратов. Выбросим из
прямоугольника сначала несколько частей так чтобы
остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе.
Эти части следующие:

треугольники 1, 2, 3, 4;
прямоугольник 5;
прямоугольник 6 и квадрат 8;
прямоугольник 7 и квадрат 9;

квадраты, построенные на кататах.
Этими частями будут:
прямоугольники 6 и 7;
прямоугольник 5;
прямоугольник 1(заштрихован);
прямоугольник 2(заштрихован);

Нам осталось лишь показать, что отнятые части
равновелики. Это легко видеть в силу расположения
фигур. Из рисунка ясно, что:
прямоугольник 5 равновелик самому себе;
четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7;
прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики
прямоугольнику 1 (заштрихован);
прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики
прямоугольнику 2(заштрихован);

Доказательство закончено.

свидетельству Прокла (Византия), оно придумано
самим Евклидом.
На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника
АВС строятся соответствующие квадраты и
доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик
квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС.
Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату
на гипотенузе.
В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум
сторонам и углу между ними:

РABC = РABD

Но
SABD = 1/2 S BJLD, так как у треугольника ABD и
прямоугольника BJLD общее основание BD и
общая высота LD. Аналогично
SFBC=1\2S ABFH (BF-общее основание, АВ-общая
высота). Отсюда, учитывая, что
SABD=SFBC, имеем SBJLD=SABFH.
Аналогично, используя равенство треугольников
ВСК и АСЕ, доказывается, что
SJCEL=SACKG.

Итак,
SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED,
что и требовалось доказать.

основанное на теории
подобия.
Доказательство Луночки Гиппократа
Векторное док-во

Однако одни полагают, что Пифагор
первым дал ее полноценное доказательство,
а другие отказывают ему и в этой заслуге.
Некоторые приписывают Пифагору доказательство,
которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал".
С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство
в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим,
история математики почти не сохранила достоверных
данных о жизни Пифагора и его математической
деятельности. Зато легенда сообщает даже
ближайшие обстоятельства, сопровождавшие
открытие теоремы.