Презентация, доклад на тему Исследовательский проект Координатный метод решения геометрических задач

заданий из ЕГЭ

их решения.

Задачи

его применять.

Получение высоких баллов на экзамене. Применение наиболее рационального метода решения геометрических задач.

это просто алгебра, воплощенная в фигурах. Софи Жермен (1776-1831) - французский математик, философ и механик

равны 1, а боковые ребра равны 3. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1=2:1. Найдите угол между плоскостями АВС и BED1.
Методы решения:
- поэтапно-вычислительный;
- координатный метод.

углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Существует множество систем координат: аффинная, полярная, биполярная, коническая, параболическая, проективная, сферическая, цилиндрическая и др. Наиболее используемая из них —прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат). Ею мы и будем пользоваться для решения задач.
Данный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними). Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.
Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве – совокупность точки О (называемой началом координат), единицы измерения и трёх попарно перпендикулярных прямых Ox, Oy и Oz (называемых осями координат: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат), на каждой из которых указано направление положительного отсчёта. Плоскости хОу, уОz и zOx называют координатными плоскостями. Каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел, называемых её координатами.

С(1,1,0)
С1(1,1,1)

(a; 0; c)
C (0; b; 0)
C1 (0; b; c)
B (a; b; 0)
B1 (a; b; c)

0)

C1 (0; 0; c)

a; 0)

S(0,5a; 0,5a; h)

точки до прямой
Нахождение угла:
Между скрещивающимися прямыми
Между прямой и плоскостью
Между плоскостями

это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.

Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(x; y; z) до прямой можно найти, используя следующую формулу:

|Ax + By + Cz|
d=
√A + B + C

y2; z2)

плоскости ax + by + cz + d = 0.

Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Итак, для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости нам необходимо найти координаты точки, и координаты нормали данной плоскости. После чего воспользоваться следующей формулой:

Алгоритм решения задач на нахождение расстояния от точки до
плоскости:
1. На рисунке изображаем указанные в задаче прямые (которым придаем направление, т.е. вектора)
2. Вписываем фигуру в систему координат
3. Находим координаты точек (данной и трех точек плоскости)
4. Составляем уравнение плоскости
5. Находим координаты вектора нормали плоскости
6. Подставляем в формулу "расстояние от точки до плоскости"

одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через вторую прямую, параллельно первой.

прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку. Данный угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если нам удастся найти координаты направляющих векторов a (x1; y1; z1) и b (x2; y2; z2), то сможем найти угол. Точнее, косинус угла по формуле:




Алгоритм решения задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми:
на рисунке изображаем указанные в задаче прямые (которым придаем направление, т.е. вектора)
вписываем фигуру в систему координат
находим координаты концов векторов
находим координаты векторов
подставляем в формулу "косинус угла между векторами"
находим значение самого угла

ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

, где n – вектор нормали,
а - направляющий вектор.

нормали – это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.
Координаты вектора – это коэффициенты перед х, у, z в уравнении плоскости.
Формула для вычисления угла между плоскостями
Если заданы уравнения плоскостей A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

21 на ребре AA1 взята точка М так, что AM=8 . На ребре BB1 взята точка K так, что KB1=8. Найдите угол между плоскостью D1MK и плоскостью CC1D1.

Задача 1
В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1. 

Задача 34
Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

является не поэтапно-вычислительный, а координатный.

интернет-ресурсы, в которых я нашла необходимые формулы для решения задач координатным методом, мною были решены некоторые задачи из ЕГЭ, сделана подборка задач по теме: «Нахождение угла между плоскостями», выпущена брошюра.

базовый и профил. уровни.- 17 – е изд.- М. : Просвещение, 2008.
2. Беликова И. Задание С2: Решаем методом координат // Математика, 2010, № 20.
3. Смирнов В.А. ЕГЭ-2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия / под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. —М.: МЦНМО, 2011.
4. Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы: пособие. —2-е изд., испр. и доп. —М.: БИНОМ, 2003.
5. https://4ege.ru/matematika/5137-reshenie-zadaniy-s2-ege-po-matematike-koordinatno-vektornym-metodom.html
6.https://www.metod-kopilka.ru/reshenie_zadaniy_s2_koordinatnym_metodom.-29500.htm
7. https://ege-study.ru/wp-content/uploads/pdf-materials/vectors.pdf
8. https://ege.sdamgia.ru/test?theme=283