Презентация, доклад на тему Четырехугольники

и центральная симметрии

РАССМАТРИВАЕМЫЕ ВОПРОСЫ

так, что смежные отрезки (т. е. отрезки АВ и ВС, ВС и CD, ..., FA и АВ) не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек. Такая фигура называется многоугольником (рис. 1). Точки А, В, С, ..., Е, F называются вершинами, а отрезки АВ, ВС, CD, ..., EF, FA — сторонами многоугольника. Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника.
Многоугольник с п вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон. Примером многоугольника является треугольник. На рисунке 2 изображены четырехугольник ABCD и шестиугольник A1A2A3A4A5A6.

МНОГОУГОЛЬНИКИ

А

В

С

D

E

F

Рис. 1

А

А6

А1

А2

А3

А4

А5

В

С

D

Рис. 2

несмежные отрезки С1С5 и С2С3 (а также С3С4 и С1С5) имеют общую точку.

С1

С5

С4

С3

С2

Рис. 3

две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью многоугольника.
На рисунке 4 внутренние области многоугольников закрашены. Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.

Рис. 4

от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
На рисунке 5 многоугольник F1 является выпуклым, а многоугольник F2 — невыпуклым. Рассмотрим выпуклый n-угольник, изображенный на рисунке 6, а. Углы АпА1А2, A1A2A3, …, An-1AnA1 называются углами этого многоугольника. Найдем их сумму.

F1

F2

Рис. 5

A1

An

An-1

A3

A2

Рис. 6 (a)

результате получим п—2 треугольника (рис. 6, б), сумма углов которых равна сумме углов n-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, поэтому сумма углов многоугольника А1А2 …Ап равна (п -2) • 180°.
Итак, сумма углов выпуклого n-угольника равна (n—2) • 180°.

A1

An

An-1

A3

A2

Рис. 6 (б)

7). Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, также называются противоположными.
Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. На рисунке 156, а изображен выпуклый четырехугольник, а на рисунке 7, б — невыпуклый.
Каждая диагональ выпуклого четырехугольника разделяет его на два треугольника. Одна из диагоналей невыпуклого четырехугольника также разделяет его на два треугольника (см. рис. 7, б).
Так как сумма углов выпуклого n-угольника равна (n—2) • 180°, то сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.

Рис. 7

а)

б)

A1

A2

A3

A4

A1

A2

A3

A4

изображен параллелограмм ABCD: AB||CD, AD||ВС. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.
Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма.
1°. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 9). Диагональ АС разделяет его на два треугольника: ABC и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (АС — общая сторона, ے1=ے2 и ے3=ے4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей АС параллельных прямых АВ и CD, AD и ВС соответственно). Поэтому AB = CD, AD = BC и ےB=ےD. Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем ےA= ے1 + ے3 = ے2 + ے4= ےC.

A

B

C

D

A

B

C

D

Рис. 8

Рис. 9

1

3

2

4

диагоналей АС и BD параллелограмма ABCD (рис. 10). Треугольники АОВ и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (AB = CD как противоположные стороны параллелограмма, L1=L2 и L3=L4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и BD соответственно). Поэтому АО=ОС и OB = OD, что и требовалось доказать.
Рисунок 11 иллюстрирует все рассмотренные свойства.

A

B

C

D

O

1

2

4

3

Рис. 10

Рис. 11

и параллельны, то этот четырехугольник—параллелограмм.
Пусть в четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD параллельны и AB = CD (см. рис. 12).
Проведем диагональ АС, разделяющую данный четырехугольник на два треугольника: ABC и CDA. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (АО — общая сторона, AB=CD по условию, ے1=ے2 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей АС), поэтому ے3=ے4. Но углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечении прямых AD и ВС секущей АС, следовательно, AD||ВС.
Таким образом, в четырехуголь­нике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм.

A

B

C

D

Рис. 12

1

3

4

2

— параллелограмм.
Проведем диагональ АС данного четырехугольника ABCD, разделяющую его на треугольники ABC и CDA (см. рис. 13). Эти треугольники равны по трем сторонам (АС — общая сторона, AB = CD и BC=DA по условию), поэтому L1 =L2. Отсюда следует, что АВ||CD. Так как AB = CD и AB||CD, то по признаку 1° четырехугольник ABCD — параллелограмм.
3°. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам (см. рис. 14). Треугольники АОВ и COD равны по первому признаку равенства треугольников (АО = ОС, BO = OD по условию, ےAOB = ےCOD как вертикальные углы, поэтому АВ = CD и ےl = ے2. Из равенства углов 1 и 2 следует, что АВ || CD.
Итак, в четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны и параллельны, значит, по признаку 1° четырехугольник ABCD — параллелограмм.

A

B

C

D

Рис. 13

A

B

C

D

O

1

2

4

3

Рис. 14

1

3

2

4

стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами (рис. 15).
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны (рис. 16, а). Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной (рис. 16, б).

Равнобедренная трапеция
а)

Прямоугольная трапеция
б)

Рис. 16

Основание

Боковая сторона

Основание

Боковая сторона

Рис. 16

последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
Решение.
Пусть на прямой L1 отложены равные отрезки A1A2, A2A3, A3A4 и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую L2 в точках B1, B3, B4, ... (рис. 17). Требуется доказать, что отрезки B1B2, B2B3, B3B4, … равны друг другу. Докажем, например, что B1B2=B3B4. Рассмотрим сначала случай, когда прямые L1 и L2 параллельны (рис. 17, а). Тогда А1А2=В1В2 и А2A3=B2B3 как противоположные стороны параллелограммов A1B1B2A2 и A2B2B3A3. Так как A1A2=A2A3, то и B1B2=B2B3. Если прямые L1 и L2 не параллельны, то через точку B1 проведем прямую L, параллельную прямой L1 (рис. 17, б). Она пересечет прямые А2В2 и A3B3 в некоторых точках С и D. Так как А1А2=А2А3, то по доказанному B1C=CD. Отсюда получаем В1В2=В2В3 (задача 1). Аналогично можно доказать, что B2B3=B3B4 и т. д.

Рис. 17

параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма: в прямоугольнике противоположные стороны равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Рассмотрим особое свойство прямоугольника.
Диагонали прямоугольника равны.
Действительно, обратимся к рисунку 18, на котором изображен прямоугольник ABCD с диагоналями АС и BD. Прямоугольные треугольники ACD и DBA равны по двум катетам (CD=BA, AD — общий катет). Отсюда следует, что гипотенузы этих треугольников равны, т.е. AC = BD, что и требовалось доказать.

A

B

C

D

Рис. 18

параллелограмм — прямоугольник.
Пусть в параллелограмме ABCD диагонали АС и BD равны (см. рис. 19). Треугольники ABD и DCA равны по трем сторонам (AB=DC, BD=CA, AD— общая сторона). Отсюда следует, что ےA= ےD. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то LA=LC и LB=LD. Таким образом, ے A= ے B= ے C= ے D. Параллелограмм — выпуклый четырехугольник, поэтому ےA+ ےB+ ےC+ ےD=360°. Следовательно, ےA= ےB= ےC= ےD = 90°, т.е. параллелограмм ABCD является прямоугольником.

A

B

C

D

Рис. 19

как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Рассмотрим особое свойство ромба.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Рассмотрим ромб ABCD (рис. 20). Требуется доказать, что AC┴BD и каждая диагональ делит соответствующие углы ромба пополам. Докажем, например, что ےBAC=ےDAC.

По определению ромба AB=AD, поэтому треугольник BAD равнобедренный. Так как ромб — параллелограмм, то его диагонали точкой О пересечения делятся пополам. Следовательно, АО — медиана равнобедренного треугольника BAD, а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому AC┴BD и ےBAC=ےDAC, что и требовалось доказать.

A

B

C

D

O

Рис. 20

и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т. е. ромбом. Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. Сформулируем основные свойства квадрата.
Все углы квадрата прямые (рис. 21, а).
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам (рис. 21, б).

а)

б)

Свойства квадрата. Рис. 21

прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему (рис. 22, а). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. На рисунке 22, б точки М и M1, N и N1 симметричны относительно прямой Ь, а точка Р симметрична самой себе относительно этой прямой.

а

А1

А

Р

N

N1

M

M1

b

Рис. 22

а)

б)

симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.
Приведем примеры фигур, обладающих осевой симметрией (рис. 23). У неразвернутого угла одна ось симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник — три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат — четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много — любая прямая, проходящая через ее центр, является осью симметрии.

Фигуры, обладающие осевой симметрией. Рис. 23

фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

Две точки A и А1 называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка АА1 (рис. 24, а). Точка О считается симметричной самой себе. На рисунке 24, б точки М и M1, N и N1 симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.

А

А1

О

P

М1

М

Q

N

N

O

Рис. 24

а)

б)

симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм (рис. 25). Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии (точка О на рисунке 25), у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является ее центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является произвольный треугольник. Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля (рис. 26).

O

O

Рис. 25

Рис. 26

фасады многих зданий обладают осевой симметрией (рис. 27). В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубчатые колеса.

Рис. 27

ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN=NC.
Решение.
Через точку С проведем прямую, параллельную прямой АВ, и обозначим буквой D точку пересечения этой прямой с прямой MN (рис. 28). Так как АМ=МВ по условию, a MB = CD как противоположные стороны параллелограмма BCDM, то AM=DC. Треугольники AMN и CDN равны по второму признаку равенства треугольников (AM=CD, ے1=ے2 и ے3=ے4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и MD), поэтому AN=NC.

A

M

B

N

D

C

1

3

2

4

Рис. 28

три отрезка M1N1, M2N2, M3N3 (рис. 29, а). Требуется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные стороны, скажем АВ и AD, равны соответственно отрезкам M1N1 и M2N2, а диагональ BD равна отрезку M3N3.

M1

N1

M2

N2

M3

N3

Анализ
Допустим, что искомый параллелограмм ABCD построен (рис. 29, б). Мы видим, что стороны треугольника ABD равны данным отрезкам M1N1 M2N2, и M3N3 Это обстоятельство подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нужно построить по трем сторонам треугольник ABD, а затем достроить его до параллелограмма ABCD.

A

B

C

D

а)

б)

Рис. 29

равнялись соответственно отрезкам M1N1, M2N2 и M3N3 (как это сделать, мы знаем из курса VII класса). Затем построим прямую, проходящую через точку В параллельно AD, и вторую прямую, проходящую через точку D параллельно АВ (как это сделать, мы также знаем из курса VII класса). Точку пересечения этих прямых обозначим буквой С (рис. 166, в). Четырехугольник ABCD и есть искомый параллелограмм.
Доказательство.
По построению AB||CD и BC||AD, поэтому ABCD — параллелограмм. Смежные стороны параллелограмма ABCD по построению равны отрезкам M1N1 и M2N2, а диагональ BD равна отрезку М3N3, т. е. параллелограмм ABCD — искомый.
Исследование
Ясно, что если по трем данным отрезкам M1N1, M2N2 и М3N3 можно построить треугольник ABD, стороны которого равны этим отрезкам, то можно построить и параллелограмм ABCD. Но треугольник ABD можно построить не всегда. Если какой-то из трех данных отрезков больше или равен сумме двух других, то треугольник ABD, а значит , и параллелограмм ABCD построить нельзя.

A

B

C

D

в) Рис. 29