Презентация, доклад на тему Выступление на семинаре математиков Решение задач по теме Теория вероятности и статистика (№19-ОГЭ, №10 – базовый ЕГЭ, №4 – профильный ЕГЭ)

муниципального района Республики Татарстан

результате опыта.
Пример: При бросании монеты может выпасть «орел» или «решка». Это два возможных варианта события или исхода испытания.

числа очков на кубике. Как часто такое будет случаться?


Всего на кубике 6 граней. В результате броска выпадет либо 1, либо 2, 3, 4, 5, 6. То есть произойдет одно событие из шести равновозможных.
Все шесть событий или исходов испытания (выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6) можно подразделить на две группы: благоприятные для нас (выпадение 2, 4, 6) и неблагоприятные (выпадение 1, 3, 5).
Так вот  вероятность события  p равна отношению числа благоприятных исходов k к числу всевозможных исходов n, то есть p=k/n
В нашем случае вероятность выпадения четного числа очков при броске игрального кубика равна 3/6=1/2=0,5

Например, при стрельбе по мишени событие «промах» – противоположно событию «попадание».

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, то есть P(Ᾱ) + P(A)=1

появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

Например, бросая игральную кость, можно
выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.
События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.
Например, бросая  игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем.   Когда выпадает три, реализуются оба события.

бы одного из этих событий.
При этом сумма двух несовместных событий  есть сумма  вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A) +P(B)
Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет1/3  , потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) несовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом:1/6 +1/6=2/6=1/3 

событий без учета их совместного появления: P(A+B)=P(A) +P(B)-P(AB)
Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня  в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).
Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате»  по условию равна 0,3. События являются совместными. 
Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.
Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть  0,3 + 0,3 -0,12=0,48

если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.
Например,  при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5  – независимые события.

появлении всех этих событий.
Если  происходят два независимых события А и В с  вероятностями  соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:
P(AB)=P(A) •P(B)
Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки. Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности –  1/6
Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле:  1/6∙1/6=1/36

попадания в мишень при  одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.
Решение
Вероятность того, что стрелок промахнётся равна 1 − 0,8 = 0,2. Вероятность того, что стрелок первые два раза попал по мишеням равна 0,8 •0,8 = 0,64. Откуда, вероятность события, при котором стрелок сначала два раза попадает в мишени, а третий раз промахивается равна 0,64 · 0,2 = 0,128.

окажется мальчиком, равна 0,512. В 2010 г. в этом регионе на 1000 родившихся младенцев в среднем пришлось 477 девочек. Насколько частота рождения девочек в 2010 г. в этом регионе отличается от вероятности этого события?
Решение
Вероятность рождения девочки - 1-0,512=0,488 .
В 2010 вероятность была  477/1000=0,477
0,488 -0,477= 0,011.
Ответ: 0,011.

того, что случайно выбранный пакет молока не течёт?
Решение
1600-80 =1520 – не течёт
1520/1600=0,95
Ответ: 0,95

раз выпало число, меньшее 4.
Решение.
Найдём вероятность того, что оба раза выпало 4, 5 или 6. Эти события независимые, а вероятность, что в одном броске выпало 4, 5 или 6, равна 3/6 = 1/2 (подходят 3 исхода из 6). Тогда вероятность того, что оба раза выпало число, не меньшее 4, равна 1/2 * 1/2 = 1/4.
Искомая вероятность 1 - 1/4 = ¾= 0,75

времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°С, равна 0,71. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8°С или выше.
  Решение
Данные события противоположны , поэтому
1-0,71 =0,29
Ответ: 0,29

к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
  P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.
 
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.
  Ответ: 0,52.

независимые, вероятность их произведения равно произведению вероятностей этих событий: 0,15·0,15 = 0,0225.

один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:
События «Достанется вопрос по теме Вписанные углы» и «Достанется вопрос по теме вписанная окружность» – несовместные. Значит,  вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем равна сумме вероятностей этих событий: 0,35+0,2=0,55.
Ответ: 0,55.

попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
Решение:
Биатлонист попадает в мишень первый раз и (умножение) второй,  и третий:  0,85∙0,85∙0,85=0,614125
Так как вероятность попадания в цель –0,85  , то вероятность противоположного события, промаха, – 1-0,85=0,15
Биатлонист промахнулся при четвертом выстреле и при пятом: 0,15∙0,15=0,0225

Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,84. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение:
Рассмотрим следующие события:
А – «пылесос прослужит больше года, но меньше 2»,
В – «пылесос прослужит больше 2-х лет»,
С – «пылесос прослужит больше года».
Событие С есть сумма совместных событий А и В, то есть
Но P(AB)=0  , так как не может одновременно произойти и А, и В.
Поэтому 0,92=P(A)+0,84 
Откуда Р(A)= 0,08 
Ответ: 0,08.

если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Решение:
Джон хватает пристрелянный револьвер (вероятность этого 4/10) и промахивается (вероятность  1-0,9=0,1 ). Вероятность этого события 0,4∙0,1=0,04 
Джон хватает не пристрелянный револьвер (вероятность этого 6/10  ) и промахивается (вероятность 1-0,3=0,7  ). Вероятность этого события 0,6∙0,7=0,42 
Джон может схватить пристрелянный револьвер и промахнуться или схватить не пристрелянный револьвер и промахнуться, поэтому искомая вероятность есть:
0,04+0,42=0,46
Ответ: 0,46.