Презентация, доклад на тему Восемь способов решения одного тригонометрического уравнения.

способов решения
одного
тригонометрического уравнения

Выполнен ученицей 11 «А» класса МОУ гимназии №40 Скопинцевой М.
Г. Краснодара
Научный руководитель-
учитель математики МОУ гимназии№40
Шмитько И.А.
Научный консультант-преподаватель ИНСПО Куб ГУ, канд. пед. наук
Печкуренко Е.Н.
2008г.

ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами , можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.
У. У. Сойер
/английский математик и педагог XX века/

части уравнения на множители.
3.Введение вспомогательного угла.
4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
5.Приведение к квадратному уравнению.
6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
7.Универсальная подстановка.
8.Графическое решение.

1

Это однородное уравнение первой степени. Делим обе части этого уравнения на

т.к., если

что противоречит тождеству

Получим:

sin x = 2 sin x/2 cos x/2,
cos x = cos 2 x/2 +sin 2 x/2,
1 = sin 2 x/2 + cos2 x/2.

,

.

cos x = 1

Далее так, как в первом способе.

x =1

В левой части вынесем - корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sin х и cos х.

= sin π /4 = cos π /4

sinα cosβ - cos α sin β = sin (α-β)

уравнения sin x – cos x = 1?

Покажем однозначность ответов.

1 –й способ
x = π /2 + 2 π n, n ∈ Z

x: π /2; 5 π /2 ; 9 π/2; -3 π /2; -7 π /2;…

x = π + 2 n, b Z
x = π ; 3 π ; 5 π; - π ; -3 π;…

2-й способ

x = π/4 + ( -1) π /4 + π k, k ∈ Z

x: π /2; π; 5 π /2 ; 3 π ; 9π/2; -π; - 3π/2; -3π; -7π/2…

sin x – cos x = 1

Запишем уравнение в виде:

Применим формулу разности двух синусов.

Далее так, как в третьем способе.

1

cos x = sin (π / 2 – x )

sin x - cos x = 1

Возведем в квадрат:

или

что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка.

Сделаем проверку.

Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений

Первое и второе решение совпадают с ранее полученными, поэтому не
являются посторонними. Проверять не будем.
Проверим:
Левая часть:
а правая часть уравнения равна 1, следовательно это решение является посторонним.

sin x – cos x = 1

sin2x - 2sin x cos x + cos2 x = 1, sin2 x + cos2x = 1
1 – 2sin x cos x = 1,
2sin x cos x = 0,

Ответ: x = π n, n ∈ Z, x= π /2 + πn, n ∈ Z.

или cos x =0
x= π /2 + πn, n ∈ Z

sin x = 0
x = π n, n ∈ Z

tg x/2). sin x – cos x =1

Выражение всех функций через tg х (универсальная подстановка)
по формулам:

Sin x –cosx = 1

Умножим обе части уравнения на

R . При переходе к tg x/2 из рассмотрения выпали значения x, при которых tg x/2 не имеет смысла, т.е.x = π + π n, где n ∈ Z .
Следует проверить , не является ли
x = π +π n, где n ∈ Z решением данного уравнения.
Левая часть sin(π - 2πk) – cos(π + 2πk) = sin π – cos π = 0 – (-1) = 1 и правая часть равна единице. Значит, x = π + π n ,где n ∈ Z является решением данного уравнения.
Ответ: : x= π n, n ∈ Z, x= π /2 + πn, n ∈ Z.

sin x – cos x = 1

На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения,
у = sin х - график синусоида.
у = соs х + 1 – синусоида, смещённая на единицу вверх.

sin x = cos x + 1

тригонометрического уравнения:
1. sin2x + cosx = 0 ;
2. √3 sin x – cos x = 0
3. sin6x + sin3x = 0;
4. sin2x +cos2x = 1;
5. √ 3sin x + cos x = 1.

0,
cosx( 2sinx + 1 ) = 0,
cosx = 0 или 2sinx + 1 = 0,
х = π /2 + π n; n ∈ Z; sinx = -1/2
x = ( -1)k+1 π /6 + k, k ∈ Z.
Ответ: x = π /2 + π n, ; x = (-1)k+1 π /6 + π k , где
n∈ Z , k ∈ Z .
Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2-й способ ).

), тогда :
sin2x + sin (π /2 – x ) = 0,
2sin ( x/2 + π /4)cos (3x/2 - π /4 ) = 0.

sin (x/2 + π /4) = 0 или cos (3x/2 - π /4 ) = 0,
x/2 + π /4 = π n 3x/2 - π /4 = π /2 + π n
x =- π /2 + 2 π n x = π / 2+ 2 π n/3 , n Z

Ответ : x = - π /2 + 2 π n , x = π / 2 + 2π n/3 , n Z .

Способ : преобразование суммы тригонометрических функций в произведение ( 4 –й способ ) .

2 –й способ:

x = π /2 + π n; n ∈Z,
n =0, x = π /2 ( т. A ),
n = 1, x = 3 π /2 (т. В ),
n =-1, x = - π /2 ( т. В ),
n = 2, x = π /2 +2π (т.А)

2) x=(-1)k+1π /6 +π k;k∈ Z,
k=0, x = - π /6 ( т.C ),
k =1, x = π /6 + π (т.D ),
k =-1, x = π /6 - π (т .D),
k =2,x = - π /6+2 π (т.C)

4-способ:
1) x = -π /2 + π n, n∈ Z ,
n =0, x= - π /2, (т .В ),
n =1, x =- π /2 + 2π , (т .В ),
n=-1, x= - π /2 –2 π , (т. В ),
n=2, x = - π / 2+ 4π ,(т .В ).

2) x = π / 2 + 2π n/3 , n Z .
n =0, x= π /2 ( т.А ),
n=1, x = 7 π /6 ( т. D ),
n= -1, x = - π /6 (т. А),
n = 2, x = 11 / 6 (т.С ),…

: при обоих способах решений данного уравнения результаты одни и те же.

0

х

у

у

А

В

С

D

в силу основного тригонометрического тождества sin2x + cos2x = 1.
Разделим обе части уравнения на cos x.
√3 tg x = 1, tg x = 1/ √3 ,
x = π /6 + n , n ∈ Z.

Ответ: x = π /6 + π n, n ∈ Z.

Cпособ :решение однородного уравнения ( 1-й способ ).

x = 0, разделим обе части уравнения на 2.
√3/2sin x – ½cos x = 0,
sin x cos π /6 – cos x sin π /6 = 0,
sin (x - π /6) = 0,
x - π /6 = π n , n ∈ Z,
x = π /6 + π n , n ∈ Z.
Ответ : x = π /6 + π n, n ∈ Z.
Способ: введение вспомогательного угла ( 3 –й способ ).

cos x = 0, возведем обе части уравнения в квадрат.
3 sin2x – 2 √3 sin x cos x + cos2x = 1, разделим обе части уравнения на cos2x ≠ 0.
3 tg2x – 2√3 tg x + 1 = 0
D = 0, tg x = √ 3/ 3;
x = π /6 + π n, n ∈ Z.
Ответ :x = π /6 + π n, n ∈ Z.
Способ :возведение обеих частей уравнения в квадрат ( 6-й способ).

уравнения в

– cos x = 0,
2 tg x/2 1 - tg 2 x/2
1 + tg 2 x/2 , 1 + tg 2 x/2 ,
√3 2 tg x/2 1 - tg 2 x/2
1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2
√3 2 tg x/2 - 1 + tg 2 x/2
1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2 ≠ 0,
tg 2 x/2 + 2 √3 tg x/2 - 1 = 0, tg x/2 = m,
m 2 + 2 √3 m – 1 =0, D = 0, m1 = - √3 - 2, m2 = - √3 + 2,
1) tg x = - √3 - 2,
2(- √3 - 2 ) - 2(√3 + 2 ) - 2(√3 + 2 ) - 1
1 +( - √3 - 2)2 8-4 √3 4( 2+ √3 ) 2 ,
sin x = - 1/2, x = ( -1 ) k +1π /6 + π k, k ∈ Z;
2) tg x = - √3 + 2,
2(- √3 + 2 ) - 2(√3 - 2 ) - 2(√3 - 2 ) 1
1 +( - √3 + 2)2 8-4 √3 4( 2- √3 ) 2 ,
sin x = 1/2, x = ( -1 ) k π /6 + π k, k ∈ Z.
Примечание:решения можно объединить: x = ( -1 ) k π /6 + π k, k ∈ Z.
Ответ: x = ( -1 ) k π /6 + π k, k ∈ Z.
Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ).

sin x =

cos x=

-

=

= 0,

=0,

sin x=

sin x =

=

=

=

=

=

=

3x = 0,
2 sin 3x cos 3x + sin 3x = 0,
sin 3x ( 2 cos 3x + 1 ) = 0,
sin 3x =0 , 2 cos 3x + 1 = 0,
3x = π n, n ∈ Z, cos 3x = -½,
x = π n/3, n ∈ Z , x = 2 π /9 + 2 π n /3, n ∈ Z.
Ответ: x = π n/3, n ∈ Z; x = 2 π /9 + 2 π n /3, n ∈ Z.
Способ:разложение левой части уравнения на множители ( 2 способ ).

sin 6x + sin 3x = 0,
2sin 9x/2 cos 3x/2 = 0 ,
sin 9x/2=0 , cos 3x /2 = 0,
9x/2 = π n, n ∉ Z, 3x /2 = π /2 + π n, n ∉ Z,
x = 2 π n/9, n ∉ Z; x = π /3 + 2 π n/3, n ∉ Z .
Ответ: x = 2 π n/9, n∉ Z;
x = π /3 + 2 π n/3, n∉ Z.
Способ: преобразование тригонометрических функций в произведение ( 4-й способ ).

Вывод: результаты решения данного уравнения разными способами совпадают

2x = 1
2 sin x cos x + cos 2 x – sin2 x = sin 2x + cos 2x,
2 sin x cos x – 2 sin 2 x = 0,
2 sin x ( cos x – sin x ) = 0,
sin x = 0, cos x – sin x = 0,
x = π n, n ∈ Z, tg x = 1,
x = π /4 + n, n ∈ Z.
Ответ: π n, n ∈ Z, x = π /4 + n, n ∈ Z.
Способ: Приведение уравнения к однородному.( 1-й способ ).

cos 2x = 1,
sin2x – (1 – cos 2x ) = 1,
2 sin x cos x – 2 cos 2x/2 = 0,
Далее так, как первым способом ( кадр № 27 ).

Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 – й способ ).

cos 2x = 1,
sin 2x + sin (π /2 – 2x ) = 1,
2sin π /4 cos ( 2x - π /4 ) = 1, sin π /4 = 1/√ 2 ,
√ 2 cos ( 2x - π /4 )= 1 arksin (1 / √ 2 ) = π /4 .
cos ( 2x - π /4 )= 1 / √ 2 ,
2x - π /4 = ±arkcos (1 / √ 2 ) + 2 π n, n ∈ Z,
2x= π /4 ±arkcos( 1 / √ 2 ) + 2 π n, n ∈ Z,
x= π /8± π /8 + π n, n ∈ Z.
Ответ: x= π /8± π /8 + π n, n ∈ Z.
Способ: преобразование суммы тригонометрических функций
в произведение ( 4 –й способ ).

= 1, разделим обе части уравнения на√ 2,
1/√2 sin 2x + 1/√ 2 cos 2x = 1/√ 2 ,
cos π/4 sin 2x + sin π/4 cos 2x = 1/√ 2,
sin (2x + π/4 ) = 1/√ 2,
2x + π/4 = (- 1)k π /4 + π k, k∈Z,
2x = - π/4 + (- 1) kπ /4 + π k, k∈Z,
x = - π /8 +(- 1)k π /8 + π k/2, k∈Z.
Ответ: x = - π /8 +(- 1)k π /8 + π k/2, k∈Z.
Способ:Введение вспомогательного угла (3й – способ).

2x = 1, Cos 2x = ± √ ( 1 - sin 2 2x )
sin 2x ± √ ( 1 - sin 2 2x ) = 1,
± √ ( 1 - sin 2 2x ) = 1 – sin 2x, возведем обе части уравнения в квадрат, тогда 1 - sin 2 2x = 1 – 2 sin 2x + sin 2 2x ,
2 sin 2 2x - 2 sin 2x = 0,
2 sin 2x (sin 2x - 1 ) = 0,
sin 2x = 0, sin 2x - 1 = 0,
2x = π n, sin 2x = 1,
x = π n/2, n ∈ Z ; 2x = π /2 + 2 π n, n ∈ Z,
x = π /4 + π n, n ∈ Z.
Ответ: x = π n/2, n ∈ Z ; x = π /4 + π n, n ∈ Z.
Способ: приведение к квадратному уравнению
относительно sin 2x ( 5 –й способ ).

2x = 1,
sin 2 2x + 2sin 2x cos 2x + cos 2x = 1,
2sin 2x cos 2x + 1 = 1,
2sin 2x cos 2x = 0,
sin 2x = 0, cos 2x = 0 ,
2x = π n, n ∈ Z ; 2x = π / 2 + 2 π n , n ∈ Z,
x = π n/2, n ∈ Z ; x = π / 4 + π n , n ∈ Z.
Ответ: π / 2 + 2 π n , n ∈ Z; x = π / 4 + π n , n ∈ Z.
Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат
( 6 – й способ ).

x +cos 2x = 0,
2 tg x 1 - tg 2 x
1 + tg 2 x , 1 + tg 2 x ,
2 tg x 1 - tg 2 x
1 + tg 2 x 1 + tg 2 x
2 tg x +1 - tg 2 x –1 - tg 2 x - 0, 1 + tg 2 x/2 ≠ 0,
2tg 2 x - 2 tg x = 0,
2tg x ( tg x – 1 ) = 0,
tg x =0, tg x – 1 = 0,
sin 2x = 0, sin 2x = 1,
x = π n/2, n∈ Z , 2x = π /2 + 2 π n, n ∈ Z,
x = π /4 + π n, n ∈Z.

Ответ: x = π n/2, n∈ Z ; x = π /4 + π n, n ∈Z.
Способ: универсальная подстановка ( 7 –й способ ).

sin 2x =

cos2 x =

+

= 0

x + cos x = 1,
√ 3 /2sin x + 1/2cos x = 1/2,
cos π/6 sin x + sin π /6 cos x = 1/2 ,
Sin ( x + π /6 ) = 1 / 2 ,
x+ π /6 = (- 1 ) k π /6 + π k, k ∈Z,
x = - π /6 +(- 1 ) k π /6 + π k, k ∈Z,
Ответ :x = - π /6 +(- 1 ) k π /6 + π k, k ∈Z.
Способ: введение вспомогательного угла
( 3-й способ).

3 sin x + cos x = 1,
2√ 3 sin x/2 cos x/2 + cos 2x/2 -sin 2x/2= cos 2x/2 + sin 2x/2,
2√ 3 sin x/2 cos x/2 - 2sin 2x/2 =0,
2 sin x/2 (√ 3 cos x/2 - sin x/2 ) =0,
sin x/2 = 0, √ 3 cos x/2 - sin x/2 = 0, sin x/2 = √ 3 cos x/2 ,
x/2= π n, n ∈ Z, tg x/2 = √ 3 ,
x = 2π n, n ∈ Z , x/2 = π /3 + π n, n ∈ Z,
x = 2 π /3 + 2 π n, n ∈ Z.
Ответ: x = 2π n, n ∈ Z , x = 2π n, n ∈ Z .
Способ : приведение к однородному ( 1 –й способ ).

x + cos x = 1,
2√ 3 sin x/2cos x/2 = 1 – cos x, 1 – cos x = 2 cos 2 x/2
2√ 3 sin x/2cos x/2 = 2 cos 2 x/2,
2√ 3 sin x/2cos x/2 - 2 cos 2 x/2 = 0,
2 cos x/2 (√ 3 sin x/2 - cos x/2) = 0,
Далее решать так как в первом способе.
Способ: разложение левой части уравнения на множители ( 2 –й способ).

sin x + cos x = 1,
3 sin2 x +2 √ 3 sin x cos x +cos 2 x = 1,
2sin2 x +2 √ 3 sin x cos x + (sin2 x +cos 2 x ) = 1,
2sin2 x +2 √ 3 sin x cos x = 0,
2sinx ( sin x + √ 3 cos x) = 0,
sinx = 0, sin x + √ 3 cos x = 0,
x = π n , n∈ Z, tg x = -√ 3 ,
x = - π /3 + π n, n ∈ Z .
Ответ : x = π n , n∈ Z, x = - π /3 + π n, n ∈ Z .
Способ : возведение обеих частей уравнения в квадрат
( 6 – й способ ).

√ 3 sin x +cos x = 0,
2 √ 3 tg x/2 1 - tg 2 x/2
1 + tg 2 x/2 , 1 + tg 2 x/2 ,
2 √3 tg x/2 1 - tg 2 x/2
1 + tg 2 x/2 1 + tg 2 x/2
2√3 tg x/2 + 1 - tg 2 x/2 = 1 + tg 2 x/2 , так как 1 + tg 2 x/2 ≠ 0,
2 tg 2 x/2 + 2√3 tg x/2 = 1,
2 tg x/2 (tg x/2 + √3 ) = 0,
tg x/2 = 0 , , tg x/2 = -√ 3 ,
x/2 = π n , n∈ Z, x/2 = - π /3 + π n , n∈ Z,
x = 2π n , n∈ Z, x = - 2π /3 + 2π n , n∈ Z.
Ответ: x = 2π n , n∈ Z, x = - 2π /3 + 2π n , n∈ Z.
Способ : универсальная подстановка (7 – й способ ).

sin x =

cos x =

+

=1,

вспомогательного угла.
4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение.
5.Приведение к квадратному уравнению.
6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
7.Универсальная подстановка.
8.Графическое решение.