Презентация, доклад на тему Рациональные и иррациональные числа

десятичную
Иррациональные числа
Действительные числа
Выберите правильные утверджения
Сравните
Вычислите
Сравните

можно представить как савокупность некоторых предметов, объединенных по некоторым свойствам.
Пример : множество учеников отдельного класса, множество букв алфавита, множество точек на прямой.

Предметы, из которых состоит множество, называются ее элементами.
Пример: Петя из 5-А класса; электрочайник - элемент множества кухонной техники.

пространственные формы реального мира, для которых основным измерением является число. Понятие “число” появилось тогда, когда люди отделили его от реальных объектов и их особенностей.
Натуральные числа– числа, которые используют при счете предметов. Натуральных чисел бесконечное количество. Их записывають с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Значит, с помощью десяти цифр можно записать числа, которые используют при счете предметов , в некоторую савокупность. Такие числа образуют множество натуральных чисел. А сами числа называють ее элементами.
Термин “натуральное число” происходит от латинского слова NATURA – природа. Обозначают это множество – N.
N={ 1, 2, 3 …} – это бесконечное множество.
То, что число принадлежит или не принадлежит множеству натуральных чисел, записывают так:-15 N, 10 € N
N
1 2 3 4

При этом при их вычитании не всегда получают натуральное число.
Пример: 13-15=-2, 10-10=0; числа -2 и 0 не натуральные.
Чтобы всегда выполнялось действие вычитание, ввели отрицательные числа и 0.
Множество натуральных чисел расширили до множества целых чисел.

+1, +2, +3…

-1, -2, -3, 0…

Zahlen - считать; обозначается буквою Z.
Z= { … -3, -2, -1, 0, 1, 2 …} – это бесконечное множество.
Пример: -205 N, але -205 Z, 2055 N, 2055 Z.
Целые числа – это натуральные числа, им противоположные числа и 0.

Если к множеству N присоединить число 0 , то получим новое множество, которое називают множеством неотрицательных целых чисел и записывают Z+ ={ 0, 1, 2, … }

N
1 2 3 4 5
Z
-2 -1 0 1 2 3 4 5

Однако при делении двух целых чисел не всегда получают целое число.
Пример: 20:6=3 (ост. 2), то есть деление чисел 20 і 6 невозможно выполнить в множестве целых чисел.
Если расширить множество целых чисел, дополнив его дробными, то в этом расширенном множестве будут выполняться четыре арифметических действия.
Мы пришли к такому числовому множеству, в котором содержатся все целые и дробные (положительные и отрицательные) числа. Его называють множеством рациональных чисел.
Термин “рациональное число” происходит от
латинского слова Ratio – отношение (частное).
Множество рациональных чисел обозначают– Q.

дроби , где m – целое число, n – натуральное, называется рациональным числом .
Любое рациональное число можно разными способами представить в виде дроби.
Пример: ; ;
Среди равных дробей всегда можно найти дробь, знаменатель которой наименший. Такая дробь называется несокротимой.
Примером множества рациональных чисел будет
множество : А={ 20; -5,2; -1; 0; 3; 8,4…}

Некоторые элементы этого множества принадлежат только множеству рациональных чисел, однако есть и такие, которые приналежат множеству целых и натуральних чисел.
-1 Q; -1 N; -1 Z; 20 Q; 20 Z; 20 N.

дроби в десятичную, используют действие деление m:n. Таким образом,

При этом бывают случаи, когда деление 1) заканчивается через несколько шагов; 2) повторяются через несколько шагов; 3) преоразовывается в бесконечное повторение одной и то же самой савокупности цифр. То, что при делении повторяется один и тот же остаток и одни и те же числа в частном, называють периодичностью дроби, а савокупность цифр, что повторяется, называють периодом дроби. В записи периодичних десятичных дробей период пишут один раз, взявши его в круглые скобки.



Запись читают так:
0 целых 3 в периоде; мінус 0 целых 81 в периоде; 0 цілих 58 сотих и 3 у периоде.

, де m Z , n N , можно представить в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Кождую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной дроби, приписывая справа бесконечное количество нулей. 2,7=2,7000…=2,7(0).
N
1 2 3 4 5
Z
-2 -1 0 1 2 3 4 5
Q
-2,5 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Знали, что когда сторона квадрата равна 1, то его диагональ должна выражаться таким числом, квадрат которого равен 2. А среди рациональных чисел такого числа не существует. Они не догадались ввести иррациональные числа и сделали вывод: если сторона квадрата 1, то длина его диагонали не равна никакому числу!!! ТО есть, существуют отрезки, которые не имеют длины!!! Это привело к кризису математической науки, который длился много столетий, пока ученые не ввели иррациональные числа. Значит, иррациональные числа – бесконечные непериодические десятичные
дроби. √2≈1,41421356… π≈3,1415926…

Бесконечные десятичные дроби

периодические непериодические


Рациональные числа иррациональные числа

Множество обозначають буквой R , от английского слова Real, немецкого Reel – действительный. Некоторые элементы этого множества принадлежат лишь множеству действительных чисел, однако есть такие, которые приналежат множеству рациональных чисел.
Тогда,N Z Q R.Поскольку каждая точка числовой прямой определяет некоторое действительное число и, наоборот, каждое действительное число имеет место на числовой прямой, то множество действительных чисел R образуют числовую прямую.
N
1 2 3 4 …
Z
-2 -1 0 1 2 3 4 …
Q
-2 -1 0 1 2 3 4 …
R
-∞ -2 -1 0 1 2 3 4 +∞